Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
^v + SjiSiav = O (4.4)
и если
S^s= I (4.5)
a=i
14*т
Jl. Инфельд
Сначала исследуем связь между уравнениями движения в (Q)- и (Ей)-формах. Уравнения движения в (й)-форме были получены из символического уравнения
(4.6)
в то время как уравнение в (2?})-форме — из символического уравнения
(4.7)
Из этих двух уравнений имеем
Aft = *" {?} (4.8)
как следствие уравнений поля и тождеств Бианки.
Подставим теперь в уравнения движения в (Ей)-форме вместо компонент %0а их явные выражения. Тогда будем иметь
4-(АтАІа)= - J AamnmdS+\ A0ad(3)*J (4.9)
AS AQ
или, с учетом уравнений движения в (й)-форме,
"»"І S Л-*.«+ 5 Л-О] ¦
^S aQ
(4.10)
В этих уравнениях мы видим связь между величинами, характеризующими материю (в левой части) и поле (в правой части); обе эти основные категории и их взаимосвязь хорошо известны со времени появления классической электродинамики.
Обратимся теперь к более важной проблеме, а именно найдем некоторые следствия из эквивалентности уравнений движения в (S)- и (Ей)-формах. Уравнения в обеих этих формах можно записать в виде одного уравнения, которое будет играть существенную роль для дальнейшего рассмотрения:
5 Л amnmds= - ^ (Л0а + 8яг0аКз>*= - 5 SJfia^ nmdS.
A2 Aq A2
(4.11)6. Уравнения движения и гравитационное излучение 213
Из последнего уравнения следует
J (Л0а + 8л?0аК3)*= \ S^'^dS + C, (4.12)
AQ AS
где С — постоянная интегрирования. Можно, однако, показать, что вследствие уравнений поля эта постоянная равна нулю. Действительно, уравнения поля (2.1) при (л = 0 в силу (1.12а) дают
A0v + 8n?0v = -SfVp= ~s^v? = sr?°mv?. (4.13) Интегрируя последнее уравнение по aQ, получаем
$(A0v + 8n?°Vc3,*= $ SJnP0-vfWdS. (4.14)
AQ AS
Напомним, что Sw0'v? содержат только линейные по Y^v выражения, и (1.126) дает нам возможность написать их в явном виде:
Sjnp0'0р = у [-У?"+Yirb (4-15)
SInP0- feP = I [6"* (Yoo + Y0|) _ YfOi_ у»*]. (4.16)
§ 5. Три импульса
В силу формы ?0а, уравнение (4.14) можно записать в виде
± 5 Л0« d^x + АІа = ± [ SPp0'a? пт dS. (5.1)
aQ aS
Будем называть «вектор»
Ат АІа = aP(IN) (5.2)
инерциальным импульсом Л-й частицы. Этот импульс зависит от частицы, ее скорости и от поля в той точке, через которую проходит эта частица. Это имеет место в силу того, что массы Ат зависят от поля согласно формуле (2.17).214
Jl. Инфельд
Будем называть «вектор»
gLJ A0aO = ^(V) (5.3)
импульсом поля в окрестности А-й частицы. Он зависит от области интегрирования. Будем называть «вектор»
±\sr?°'af>nmdS = AP?G) (5.4)
гравитационным импульсом А-й частицы и ее окрестности. Тогда уравнение (5.1) можно просто записать в виде
APh) = AP(m + AP?py (5.5)
Но і равитационный импульс /? определен лишь через поверхностный интеграл от выражений, линейных по первым производным величин Y^av- В то же время P^F) определяется через объемный интеграл от функций, нелинейных по „у".
Желательно выяснить физический смысл этих трех импульсов по крайней мере в некоторых частных случаях. К сожалению, чтобы сделать это, мы должны сослаться на некоторые результаты, полученные ранее с помощью метода приближений.
Сделаем специальное предположение, что мы рассматриваем задачу двух тел и интересуемся лишь О-компо-
1
нентой последнего уравнения. Обозначим через Ш(/лг),
ni(Fy и m(G) инертную, полевую и гравитационную массы первой частицы, соответствующие, очевидно, P(IN), P(F)
и P(0G), так как = 1. Аналогично, для второй частицы будем писать индекс «2» над символами соответствующих масс. Теперь для каждой из этих масс напишем
га = т + га, (5.6)
2 4
где т и т — массы соответственно в ньютоновском и пост-
2 4
ньютоновском приближениях. Для т дело обстоит просто:6. Уравнения движения и гравитационное излучение 215
в этом приближении инертная и гравитационная массы, обе будучи постоянными, равны между собой, в то время как полевая масса равна нулю. Что же касается т,
4
то результаты расчета 1J таковы:
і і
m(IN) = ±misis + mm±, (5.7)
4 г 2 2 2 г
1 J 1 \ ! J 1 2 J
= - . (5.8)
4 z 2 ^ 2 2 г
Это означает, что добавочная гравитационная масса в постньютоновском приближении равна сумме кинетической энергии и половины потенциальной энергии взаимо-
1
действия. Из этих уравнений можно найти m(F>:
4
1 і 1 3 1 2 1 tn{F) = rn{G) - m{1N) = --n-/n/n7 . (5.9)
4 4 4 L 2 2 r
Это показывает, что в случае задачи двух тел только в ньютоновском приближении нет никакой разницы между инертной и гравитационной массами.
§ 6. Уравнения для гравитационного излучения
В § 3 мы получили уравнения движения из дифференциального закона сохранения:
(Sliv+Ж aimOiv = 0- (6Л>
Используем то же самое уравнение, из которого были получены уравнения движения в (Ей)-форме, для определения гравитационного излучения. Единственное различие между ходом рассуждений в § 3 и здесь заключается в том простом обстоятельстве, что теперь мы будем инте-
х) В работе автора [6] [формула (6.8)] вычислена масса