Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
и G = gPQ Gpq-скалярная кривизна. Тензоры gpq1 Gpq и Tpq симметричны и, следовательно, определяются в пространстве-времени десятью независимыми компонентами.
Умножая каждый член уравнения (4) на gpq, суммируя по обоим индексам от 0 до 3 и учитывая, что скалярный инвариант тензора энергии-импульса связан с плотностью k соотношением T = kc2, получаем
Так как компоненты Rpihq тензора Римана содержат компоненты метрического тензора и его производных первого и второго порядков, уравнение (5) представляет собой систему десяти уравнений второго порядка в частных производных для десяти компонент фундаментального метрического тензора.
Рассмотрим гиперповерхность 2, на которой возможен разрыв поля. На ней могут быть непрерывными gpq1 его первые производные и, следовательно, символы Кристоф-феля {ph, /}; кроме того, остаются непрерывными плотность k и компоненты тензора энергии-импульса Tpq. Вторые же производные компонент фундаментального метрического тензора должны иметь разрыв и, следовательно, должны иметь разрыв компоненты Rplhq и компоненты свернутого тензора Римана Gpq.
G=xc2k.
В силу этого, (4) принимает вид
0PQ-TW2k^m+=
(5) 8. Разрыв гравитационного действия на фронте волны 21з§
Обозначая разрыв физических величин на гиперповерхности 2 символом А, будем иметь
AGp9 = glhARplhq = glh /}-Д^{р<7, =
1Ta diSPl , д ^ghl Sigph
dxh dxQ дхР дх<і дх1 дх<1 д ^gpl А d*gqi А d*gpq і ^
-Я
дхя. dxh дх* dxh
lh Г A d*8pq A a2gM A d^vh A
dxh dx? dxQ dxL дх<* dx? dxh J Учитывая (5), имеем на S
AGpe = O.
Следовательно,
—^(6) 6 L дх1 dxh дх*> дх* дх1 дхв дх* dxh J
Из простых геометрических соображений следует, что для величин разрыва на 2 вторых производных от компонент метрического тензора должно выполняться следующее соотношение:
A ^^ = Xpe X\i % (р, q, /, h = 0, 1, 2, 3), (7)
где Xpq = Xqp — десять произвольных множителейопределяющих разрыв на 2.
Подставляя (7) в (6), видим, что Xpq должны удовлетворять десяти однородным линейным уравнениям
Tlh Xpq + т,р Tle glh Xlh - tle т"1 Xph -Tlp Tl* Xqh = 0,
(р, <7 = 0, 1, 2, 3), (8)
которые можно также переписать в виде
Ks {t|i т|г grpgl + Tlp g™ - T1, Tl8 gl - Т|р Tls grq} = 2AGp9.
Это показывает, что десять множителей Xrs образуют ковариантный симметричный тензор, свертывание которого
См. [5], стр. 56—60, 252
Б. Финци
с тензором 4-го ранга, стоящим в скобках, дает симметричный тензор с компонентами 2ДGpq. Следовательно, система уравнений (8) имеет тензорный характер.
3. Решение системы уравнений (8) в общем случае
Будем решать систему линейных однородных уравнений (8) относительно десяти компонент симметричного тензора Xpqi которые, согласно (7), определяют разрыв Gpq на 2.
Преобразуем (8) к более простому виду путем введения более удобных переменных. Тогда для получения требуемого решения системы (8) достаточно перейти к первоначальным переменным по обычным формулам тензорного исчисления.
Перейдем от переменных X0i X1f X2t Xs к новым переменным
X0 = T (х°, X11 X2, л:3), = jki (/=1,2, 3). (9) В новых переменных имеем
дх1 дх Рассмотрим инвариант
- дх і
- дх дх° п /• і о q\
= ^ = 0 О-1'2'3)-
(10)
H = yg"'W (11)
Учитывая соотношения (9), находим
H==H = ^hXl = (12)
В силу (10) и (12), система (8), благодаря своему тензорному характеру, примет вид
S00^oo+?h K-ZghoKn=0, ]ГКі-8*0Кн = О (< = 1,2, 3), = 0 (Ї, ?= 1, 2, 3), 8. Разрыв гравитационного действия на фронте волны 21з§
и новыми неизвестными будут: X00, Xoi = Xio (/=1, 2, 3),
Kk = Ki A= 1, 2, 3).
Замечая, что
= +2 Sg10Ifo+ 2
1 i,fe = l
получаем
S ?%k = 0,
і,/г=1
(/=1,2,3), (13)
1
^00Xife = 0 (/, fc=l, 2, 3).
Как легко видеть, система уравнений (13) содержит всего шесть неизвестных Xik = Xki (/, 1, 2, 3).
В общем случае, когда инвариант Я, заданный с помощью (11), отличен от нуля, то, согласно (12), g00 Ф 0 и система (13) сводится к следующим шести независимым уравнениям:
Xife = O (Xik = Xki; 2, 3). (14)
Таким образом, общее решение системы (13) допускает произвольные значения четырех компонент X00, X01, X02, X03 и нулевые значения шести компонент Xife = Xfei (/, k = l, 2, 3).
Для нахождения X (Xpq = Xqp, р, ?=0, 1, 2, 3), удовлетворяющих исходной системе (8) в общем случае, когда H Ф 0 достаточно перейти к первоначальным переменным л:0, X1j X29 X3 по следующим формулам:
(Р.*-1.2.3). (15) 254
Б. Финци
Следовательно, учитывая (9) и (14), имеем
^Oi =^ooWii+ ^io _ (/= 1, 2, 3) (15')
Kk = ^OOtIitIfe + KkrIi + ^iotIfe-Формулы (15'), в которых X00, X01, X02, X03 выбраны произвольно, представляют собой решение однородной линейной системы относительно десяти неизвестных Xpg = sssKp (Р> ^ = 1, 2, 3) в случае, когда H Ф 0. Эти уравнения показывают, что в общем случае, когда H Ф 0, ранг матрицы системы (8) равен К = 6. Таким образом, К< 10 и это означает, что система дифференциальных уравнений Эйнштейна (4) или (5) является недоопределенной.
4. Уравнение характеристического многообразия
