Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичным образом, временно-подобный собственный вектор в общем случае может быть определен с помощью тензора Римана и для гравитационного поля в свободном пространстве-времени. Этот вектор интерпретируется как 4-скорость наблюдателя, следующего за полем. Для некоторых полей этот вектор вырождается в изотропный конус, и, как и для случая электромагнитного поля, это отождествляется с наличием излучения.
Этим временно-подобным собственным векторам гравитационного и электромагнитного полей можно придать определенный физический смысл. Например, в случае неизотропного электромагнитного поля 4-скорость следования за полем дает для данного поля экстремальную величину силы Лоренца. Аналогично, физические (более сложные) эффекты гравитационного поля также достигают экстре-, мального значения для наблюдателя, следующего за полем. Это будет подробно обсуждено в § 4.
1J Подробное рассмотрение геометрических и алгебраических свойств электромагнитного поля см. в книге Синга [3J. 9. Инвариантная, формулировка теории гравитац. излучения 261
Собственные векторы гравитационного поля определены в § 3 с помощью классификации Петрова [4] по каноническим типам тензора Римана для свободного пространства-времени. Эта классификация, приводящая к двум типам гравитационных полей с наличием излучения и одному — с отсутствием излучения, основана на изящном геометро-алгебраическом формализме, разработанном Рузе [5] и другими. Будет показано, что разница между типами с излучением и без излучения может быть получена с помощью подходящей ориентации осей координат в соответствии с концепцией разрыва тензора Римана на фронте волны, допускаемого условиями Лишнеровица. Это подтверждает совместимость понятия (§2) фронта гравитационной волны с утверждением (§ 3), что наблюдатель, следующий за гравитационным излучением, должен двигаться со скоростью света.
Такой геометрический подход здесь необходим, поскольку в теории Эйнштейна, как и следовало ожидать, в силу принципа эквивалентности не существует кова-риантный тензор энергии-импульса гравитационного поля. В лоренц-инвариантных теориях тензор энергии-импульса зависит от напряженностей поля, но эти последние локально не имеют абсолютного смысла для гравитационного поля. Канонический псевдотензор энергии-импульса1) /^v является квадратичной функцией напряженностей поля (символов Кристоффеля) и удовлетворяет закону сохранения. Но он нековариантен и фактически может быть полностью обращен в нуль вдоль произвольной незамкнутой кривой в пространстве-времени. Тем не менее tp использовался различными авторами [6, 7] для определения гравитационного излучения, хотя при этом всегда делалось предположение о слабости поля и принимались физически неясные координатные условия.
Можно было бы построить ковариантные и, следовательно, имеющие физический смысл выражения из для больших областей пространства-времени так, чтобы в них входили только изменения гравитационного поля (но не само поле). Однако такая попытка нам не представляется успешной. Трудности могли бы быть разрешены, если бы
Греческие индексы пробегают значения О, 1,2, 3, латинские—
1, 2, 3. 262
Ф. Пи рани.
можно было переформулировать приближенный метод, применяющийся в случае слабых полей, ковариантным образом, так чтобы сделать его пригодным для расширенной области пространства-времени.
В качестве альтернативы такому подходу в § 4 развивается локальный ковариантный приближенный метод, пригодный для поля любой интенсивности, но лишь для малых областей пространства-времени. Это сделано с помощью введения нормальных координат [8, 9], которым дана физическая интерпретация. Псевдотензор энергии-импульса t^ обращается в нуль в начале нормальной системы координат и отличен от нуля в его конечной окрестности. Он может быть разложен в ряд с тензорными коэффициентами, являющимися функциями тензора Римана и его кова-риантных производных. Усреднением по малой двумерной области можно построить ковариантное приближение псевдотензора энергии импульса ^v в области. Найдено, что, когда гравитационное излучение отсутствует, существуют наблюдатели (с соответствующими 4-скоростями), относительно которых не существует потока энергии, тогда как при наличии излучения невозможно выбрать таких наблюдателей. Это в точности соответствует случаю электромагнитного поля и подтверждает определение гравитационного излучения.
В § 5 обсуждаются различные примеры; в § 6 отмечаются некоторые трудности настоящего рассмотрения.
§ 2. Природа фронта гравитационной волны
Перейдем теперь к исследованию природы фронта гравитационной волны путем нахождения допустимых разрывов тензора Римана на изотропной трехмерной гиперповерхности. Вычисления основаны на условиях непрерывности Лишнеровица [2] (для метрического тензора и его производных), достаточных для обеспечения физической однозначности уравнений Эйнштейна в вакууме1):
Космологический член в данной статье не рассматривается. Он мог бы быть учтен без каких-либо трудностей; однако его учет привел бы к некоторому усложнению изложения. 9. Инвариантная, формулировка теории гравитац. излучения 263
