Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
делители Ra могут не быть простыми. Это имеет место для типов II и III.
Собственные бивекторы Rabi определенные с помощью (3.8), легко получить, исходя из (3.9)-(3.11). Таковыми являются простые и попарно дуальные бивекторы или 9. Инвариантная, формулировка теории гравитац. излучения 273
бивекторы вида Pa = Sa ± i°SA, где Sa — простой бивектор, a 0Sa - дуальный к нему
Таким образом, каждый собственный бивектор Pa, соответствующий RAb, определяет пару ортогональных двумерных пространств. При этом РА, полученные с помощью (3.9)-(3.11) (при надлежащей нормировке), должны иметь следующий вид:
Тип I. Шесть независимых собственных бивекторов: Если ?i = 0, то PA=of и Pa = of (взаимно-дуальны);
если ?x ф 0, Pa= of ± iot Если ?2 = 0, то Pa = 02 и Pa = 65 (взаимно-дуальны);
если ?2 0, PA = O2±ibt Если P3 = O, то PA = oj и РЛ = 6б (взаимно-дуальны); если ?3 Ф 0, Pa = of ± iot
Тип II: Четыре независимых собственных бивектора: Если ? = 0, то Pa = of и Pa = of (взаимно-дуальны) и pA=oA-of и PA = of + of (взаимно-дуальны). Если ? Ф 0, то PA = of ±*of и PA = of-of ±/(os + of).
Тип III. Два независимых собственных бивектора:
1J Простой бивектор Sjliv, для которого det (Sjliv) = 0 и который всегда может быть представлен в виде Sjliv = XjliVv-XvVjli, определяет двумерную поверхность в пространстве-времени. Бивектор, дуальный к какому-либо бивектору Pjliv, имеет вид
0Р^ = 8^а^ХПРт(0РА = 8лвеВСРс)'
где exp (QOtJt) = ^ Y — g—знаковый тензор (последний нужно брать со знаком минус, когда QatJt размещены в порядке О, 1, 2, 3). Бивектор, дуальный к Sjliv, определяет двумерную поверхность, ортогональную к той, которая задается с помощью Sjive
18 Заказ JYb 738 274
Ф. Пи рани.
Различные пары двумерных поверхностей, представленные этими простыми бивекторами, не являются ортогональными. Их пересечения дают следующие главные векторы Римана га (соответствующим образом нормированные):
Тип I: га = 6?, 6<*, 6<*, 6<*. Здесь главные векторы Римана совпадают с ортами репера. Один из них временно-подобный, три других пространственно-подобны.
Тип II: /*а = 6<* —б?, Первый вектор изотропен,
два других — пространственно-подобны.
Тип III: Ta = Sgt-Sf. Имеется только один главный вектор Римана, который является изотропным вектором.
Согласно установленному выше критерию, гравитационное излучение определяется теперь следующим образом 1Y.
В любой точке свободного пространства-времени, где тензор Римана относится к типу II и III, присутствует гравитационное излучение; для тензора Римана типа I справедливо обратное утверждение.
Заметим теперь, что а в (3.10) оказываются на тех же самых местах и с тем же самым знаком, что и в матрице (2.6), описывающей допустимые разрывы на изотропной трехмерной гиперповерхности. Это соответствие достигнуто отчасти за счет ориентации двух реперов. Однако в том утверждении, что именно при переходе из области пространства-времени без гравитационного поля излучения в область, где имеется поле излучения, допустимые, согласно условиям Лишнеровица, разрывы диктуются только что предложенным определением, содержится определенный физический смысл. Это, очевидно, является одним из признаков совместимости двух различных подходов к проблеме.
Это утверждение почти наверняка является сильно упрощенным. Из последних работ Лишнеровица, Робинсона, Сакса и других ясно, что тип II0 (при a= ? = 0) представляет собой чистое поле излучения. Кроме того, оказывается, согласно последней работе Сакса (не опубликовано), что типы II и III представляют как поля, близкие к полям излучения, так и промежуточные поля, которые переходят В ТИП II0 вдали от своих источников. 9. Инвариантная формулировка теории гравитац. излучения 275
Отметим также, что при переходе от типа I к типу II число независимых а и ? сокращается (как для а, так и для ?) с двух до одного. Это означает некоторую дополнительную симметрию для полей излучения, что на первый взгляд может показаться неожиданным. Однако физическая интерпретация, которая сразу же здесь напрашивается, состоит в том, что вследствие нелинейности поля (т. е. вследствие того, что гравитационное поле включает в себя свой источник) гравитационные волны без какого-либо рода симметрии интерферировали бы друг с другом и взаимно гасились1).
Физические эффекты, обусловленные гравитационными волнами, можно исследовать с помощью уравнения (2.8) таким же способом, каким в § 2 исследовались эффекты, связанные с разрывами. Различие между типами I и II пространства-времени сразу же вытекает из рассмотрения поведения пробных частиц, движущихся со скоростями, отличными от скоростей, определяемых временно-подобным вектором репера. В качестве примера рассмотрим поведение Кь [определяемого формулой (2.9)] при локальных преобразованиях Лоренца, определяемых в каждой точке соотношениями
Ill=fK0ll che + ^she,
X P4 = Sh 0 + A. ^ Ch в, (3.12)
Y2 _ \ 2 T3 _ П
** JLl — Л|Ы> ** JLl - 7vILl)
где репер является репером, к которому отнесены канонические формы (3.9) и (3.10). При этом преобразовании Kab (кроме /С1Ь, которые не меняются) выглядит следующим образом:
