Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим теперь, что инвариант Hy заданный формулой (11), равен нулю:
Н = 0.
В этом случае, как видно из (12), обращается в нуль также и g00, и десять линейных однородных уравнений (13) сводятся к четырем следующим:
І
uI (1б)
2 Л* = 0 С-1.2,3),
которые включают всего лишь шесть неизвестных величин
Kk = Ki (*\ 2, 3).
Ранг матрицы этой системы К = 4. Ранг матрицы исходной системы (8), когда H = 0, также равен 4.
Таким образом, гиперповерхности S пространства-времени, описываемые уравнением (2), для которых H = O9 понижают ранг матрицы системы (8), задающей величины, которые определяют разрыв AGpg. Они являются характеристическим многообразием (в смысле Адамара) недоопределенной системы дифференциальных уравнений, состоящих из уравнений Эйнштейна (4) или (5) [1, 2]. 8. Разрыв гравитационного действия на фронте волны 21з§
Дифференциальное уравнение для характеристического многообразия получается, если записать условие # = 0, беря для инварианта H его выражение (11). Таким образом, имеем
g%tlft = 0. (17)
Это есть уравнение в частных производных первого порядка, которому должна удовлетворять функция г (л;0, хг,х2, л;3). При учете (Г) уравнение (17) запишется в виде
з
r*(if)2- 2 fliV^=0- (17') і,ft= 1
Как показала М. Пастори [6], из этого уравнения при учете (3) следует равенство
U = V, (18)
подтверждающее, что гравитационное действие распространяется со скоростью света.
5. Разрыв на фронте волны
Величину разрыва Gpq на фронте волны, следуя которому распространяются гравитационные действия, можно получить, если определить сначала функцию т в (17) и (17') и затем записать соотношение (7). В этом последнем вместо множителей Xpq = Xqp подставляются их выражения из (15). При H = О равенства (14) уже не имеют места и из (15) и (9) не вытекает формула (15'), которая справедлива при H Ф 0 и, следовательно, Xik = Q (і, k = 1, 2, 3); тогда имеем
^oo = ^ooVio»
Ki = KoV.i + 2\itl0 _ (/=1,2,3), (19)
Kk = ^ootIirIfe + Kkx \i + ^iOrIfe +^ife (/,?=1,2,3).
В этих формулах коэффициенты Xpq (р, q = 0, 1, 2, 3) должны удовлетворять системе уравнений (16), к которой сводится система (13) при H = 0. Это значит, что X00, Xqi, X02, X03 произвольны, тогда как остальные шесть мно- 256_Б. Финци_
жителей Xife (і, k=l, 2, 3) удовлетворяют четырем линейным уравнениям, которые образуют «нормальную» систему (16).
Коэффициенты этой системы известны, так как gik = gpq = gik (/,?=1,2,3),
^ll-^+SA« (*-1.2> 3>-
і
3
Подставляя Tfe = ^alfeTli, с учетом (Г) получаем
gik=-aik (/,?=1,2,3), ?fe=- Tfe (k= 1,2,3).
Для разрешения системы (16), которую перепишем в виде
2 ClfcX4k = Of
''I (20)
^TfcXife = O (/=1,2,3),
достаточно произвольным образом задать две из шести неизвестных Xife = Xfei и найти с помощью правила Крамера значения остальных четырех компонент Xife из системы (20).
ЛИТЕРАТУРА
1. Levi-Civita Т., Rend. Lincei, И, 3 (1930).
2. L е V і -С і V і t а Т., Rend. Lincei, И, ИЗ (1930).
3. Einstein A., Sitzb. d. preuss. Akad. d. Wiss., 1916, S. 688.
4. E і n s t e і n A., Sitzb. d. preuss. Akad. d. Wiss., 1918, S. 154.
5. L e V і - C і V і t а Т., Caratteristiche dei sistemi differenziale e
propagazione ondosa, Bologna, 1931, p. 33, 34.
6. P as tor і M., Rend. 1st. Lombardo, LXXII, 1939. 9. инвариантная формулировка теории гравитационного
излучения
Ф. Пирани F. Pirani, Phys. Rev., 105, 1089—1099 (1957)
В настоящей статье дано инвариантное определение гравитационного излучения в рамках общей теории относительности. Определение получено в предположениях: а) что гравитационное излучение характеризуется тензором Римана и б) что оно распространяется со скоростью света. Поэтому фронт гравитационной волны должен возникать как изотропная гиперповерхность, на которой имеет место разрыв тензора Римана. Возможный вид этого разрыва найден здесь из условий непрерывности Лишнеровица.
С помощью собственных векторов тензора Римана определено понятие «наблюдателя», следующего за гравитационным полем. Показано, что 4-скорость такого наблюдателя временно-подобна для одного из трех, полученных Петровым, канонических типов тензора Римана и изотропна для двух других типов. Первый тип отождествлен с отсутствием, а два других — с наличием излучения, Это утверждение является определением. Показано, что различие между нерадиационным и одним из радиационных типов может быть связано с возможными разрывами тензора Римана на изотропной трехмерной гиперповерхности. Это доказывает непротиворечивость понятия фронта волны и понятия следования за полем.
Определена ковариантная апроксимация канонического псевдотензора энергии-импульса с использованием нормальных координат, которым дана физическая интерпретация. Показано, что, когда имеет место гравитационное излучение, приближенный поток гравитационной энергии не может быть обращен в нуль с помощью локальных преобразований Лоренца, что говорит в пользу приведенного выше определения излучения.
