Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ф. Пи рани.
деленном с помощью репера X«- Правила перехода к 6-мерному формализму заключаются в следующем.
Если #a? — физические компоненты некоторого кососим-метрического тензора Hllv относительно данного репера в заданной пространственно-временной точке Р, то соответствующий 6-вектор в точке P в шестимерном пространстве г) Ha получается с помощью замены пар индексов a? по схеме:
a?: 23 31 12 10 20 30, А: 1 2 3 4 5 6. (2,4)
Аналогично, любой бивектор-тензор соответствует симметричному тензору в шестимерном пространстве. В частности, физические компоненты Rafiyo тензора Римана переходят в компоненты симметричного шестимерного тензора Rabi если каждую пару фиксированных индексов a?, уд заменить согласно схеме (2.4).
Чтобы поднятию и опусканию индексов в шестимерном пространстве соответствовали поднятие и опускание пар индексов физических компонент в четырехмерном пространстве, метрический тензор шестимерного пространства должен быть выбран в виде
ЛАВ = diag(l, ^1' ^1)' (2.5) ЧТО соответствует бивектору-тензору 1IaY1V""-" rIafir^Y' ^33" рыв тензора Римана в произвольной точке на изотропной гиперповерхности S в свободном пространстве-времени может быть вычислен непосредственно из (2.2) и (2.3) и записан с помощью Rab- Оказывается, что имеет место равенство2)
I-
ARab-=
— CT -ф -ф А
-ф CT CT Ф
-ф CT CT Ф,
CT ф ф -а
(2.6)
!) Значки Ai Bi С ... принимают значения 1, 2, 3, ..., 6. 2) Изящное ковариантное определение было дано ранее Траут-маном [14]. Эти результаты первоначально были получены Штель-махером [15]. 9. Инвариантная, формулировка теории гравитац. излучения 267
Здесь о и ф —произвольные числа. Однако элементы, содержащие ф, можно, как установлено выше, обратить в нуль с помощью вращения. В § 3 будет показано, что различие между радиационным и нерадиационным каноническими типами тензора Римана (отнесенным к соответствующим образом ориентированным 4-реперам) определяется именно размещением элементов а в (2.6). Это подтверждает нашу интерпретацию формулы (2.6), согласно которой последняя определяет разрыв Rab на фронте гравитационной волны 1J.
Физические эффекты, обусловленные разрывами типа (2.6), могут быть изучены с помощью уравнения геодезического отклонения [17]
^HW0=O, (2.7)
описывающего относительное ускорение двух соседних (сферически-симметричных) пробных частиц [1]. В уравнении (2.7) Xй = dx^/dx - единичный вектор, касательный к геодезической мировой линии cS одной из частиц, т — собственное время ВДОЛЬ TJli- вектор смещения, ортогонального по отношению к мировой линии другой частицы. Для получения непосредственной физической интерпретации формулу (2.7) нужно отнести к реперу, состоящему из векторов Xix (где X0 — 4-скорость частицы
с мировой линией cG, a Xj1- три взаимно ортогональных пространственно-подобных вектора, перемещающихся вдоль Тогда (2.7) принимает вид
~ + (т) Xb = 0, (2.8)
где Xа = T]1— физические компоненты вектора смещения (X0 = O), а
Kab = Raobo (2.9)
являются физическими компонентами тензора Римана. В уравнении Ньютона, соответствующем (2.8), Xа — коор-
1J Свойства гиперповерхности разрыва ранее обсуждались Tpa-утманом [16]. 268
Ф. Пи рани.
динаты одной частицы по отношению к другой, a /Cctb = = d2V/dxadxb, где !/ — обычный гравитационный потенциал Ньютона. Таким образом, — К\ХЬ должно быть отождествлено с относительным ускорением двух частиц (с относительными координатами Xb), возникающим вследствие разницы гравитационного поля в точках местонахождения частиц.
Следовательно, как только фронт гравитационной волны, описываемый (2.6), проходит пару пробных частиц, на фронте волны возникает разрыв
Реперы, к которым относятся (2.6) и (2.8), выбраны таким образом, чтобы они совпадали в той точке пространства-времени, где фронт волны проходит частицы. Можно заметить, что разрыв для относительного ускорения зависит от относительного положения частиц. В частности, разрыв не имеет места, если две частицы расположены на одномерной линии в направлении распространения фронта волны.
Этот результат инвариантным образом отображает поперечный характер гравитационного излучения. Две частицы, лежащие в плоскости X2X3 (которая перпендикулярна направлению распространения излучения) будут испытывать скачкообразное изменение относительного ускорения. Если, например, 2-ось выбрана так, что ф = 0 и линия, соединяющая частицы, образует с этой осью угол 9, то, согласно (2.10), изменение относительного ускорения будет иметь место в направлении, образующем угол—9 с этой осью.
§ 3. Канонические формы тензора Римана
В этом параграфе более подробно разработана концепция следования за гравитационным полем. Это выполнено путем непосредственного обобщения рассуждений, имеющих место в случае электромагнитного поля. В последнем случае собственные векторы поля определяются урав-
(2.10) 9. Инвариантная, формулировка теории гравитац. излучения 270
нениями
Wv =XE1U (3.1)
где T^ — тензор энергии электромагнитного поля. Было показано, что в общем случае могут иметь место временно-подобные, пространственно-подобные и изотропные собственные векторы. Первые два лежат во взаимно ортогональных двумерных поверхностях, направление же изотропного вектора не определено. С другой стороны, для изотропного поля временно-подобный собственный вектор не существует. Здесь все собственные векторы пространственно-подобны, за исключением единственного собственного вектора, который изотропен. При этом все пространственно-подобные векторы лежат в трехмерном пространстве, касательном к изотропному конусу вдоль направления этого изотропного собственного вектора.
