Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Недавно автор [1, 11] провел сравнение поведения пробных частиц в гравитационном поле в общей теории относительности и в ньютоновской теории (см. § 2). При этом было удобно ввести локальные декартовы системы координат в мгновенном трехмерном пространстве ВДОЛЬ одной из мировых линий частицы. Системы координат в разных про-странственно-временных точках здесь были связаны через параллельный перенос векторов репера, задающих координатные оси, вдоль этой мировой линии. Как и следовало ожидать, было показано, что такой способ переноса приводит к описанию гравитационных явлений, имеющему наибольшее сходство с ньютоновской теорией, где используются обычные инерциальные системы отсчета. Однако весь формализм, с помощью которого проводилось это сравнение, был по существу нерелятивистский. 9. Инвариантная, формулировка теории гравитац. излучения 279
Рассматриваемый случай в некоторой степени отличен от исследованного ранее. Только что описанный формализм предназначен для обсуждения динамических эффектов [например, таких, как обсуждавшийся выше после уравнения (2.8)]; однако общая идея тензора энергии-импульса является существенно релятивистской, развитой в основном в рамках релятивистской теории — электродинамики Максвелла,— и может оказаться непригодной в общей теории относительности, которая рассматривается здесь как теория поля гравитации. Следовательно, требуется удобный 4-мерный аналог инерциальных систем специальной теории относительности, но определенных более сложно, чем с помощью репера единичных векторов. При этом неизбежна потеря общей ковариантности, и главная задача состоит в том, чтобы как-нибудь менее искусственно связать концепцию, развитую здесь для случая гравитационного излучения с обычной концепцией, развитой специально для электромагнитной теории (хотя следует допустить, что рассмотрение вектора Пойнтинга в начале § 3 применимо к случаю истечения любой другой энергии).
Поскольку мы хотим исследовать псевдовектор энергии-импульса по аналогии с лоренц-инвариантными теориями поля, то имеет смысл выбрать такую систему координат, которая являлась бы приближением к системе координат специальной теории относительности. В методе, использующем приближение слабого поля, это сделано путем рассмотрения метрики, которая на достаточно больших расстояниях от материальных частиц мало отличается от метрики Минковского. Существенные трудности, связанные с этим методом, могут быть приписаны отсутствию кова-риантной формулировки приближения слабого поля. Другим возможным принятым здесь методом является метод локального приближения, совместимого с инвариантной формулировкой: в окрестности каждой точки вводится система нормальных координат, которая вполне определенным с математической и физической точек зрения путем апроксимирует инерциальную систему координат специальной теории относительности.
Физическая интерпретация нормальных координат вытекает из их точного соответствия координатам Минковского только в одном отношении, а именно § измерении интер- 280
Ф. Пи рани.
вала. Лучше всего это можно пояснить, исходя из рассмотрения основных свойств такой системы координат, которые состоят в следующем.
Нормальные координаты х* всегда могут быть выбраны так, что в любой выбранной пространственно-временной точке О:
х» -0, (4.1)
^v = V (4.2)
rHV0 = guv, Q = 0, (4.3)
guv, Qa == -?- (Rqhvo + RQVIW)i (4.4)
для каждой точки P в окрестности О
х» = ир», (4.5)
где
Po^ = S (4.6)
есть вектор, касательный в О к геодезической OP, и
а) если OP временно-подобен, то и — собственно-времен-ной интервал т, разделяющий О и Я;
б) если OP пространственно-подобен, то и есть чисто пространственный интервал s, разделяющий О и Р\
в) если OP изотропен, то и является выделенным параметром, с помощью которого уравнение изотропной геодезической OP принимает вид
d*x* гц dxv dxQ _п du
[Это определяет и с точностью до линейного преобразования изотропной геодезической в точке О. Начало отчета и выбрано в точке О, а определенное с помощью (4.5), не зависит от масштаба и.]
Системы нормальных координат в точке О связаны друг с другом с помощью однородных преобразований Лоренца в этой точке.
Из рассмотрения этих свойств ясно, что наблюдатель, который определял бы координаты в окрестности данной точки О путем измерения с помощью теодолита и изме- 9. Инвариантная, формулировка теории гравитац. излучения 281
рений интервалов от точки О так, как если бы пространство-время было плоским, получал бы нормальные координаты. Таким образом, использование нормальных координат основывается на всех локальных свойствах риманова пространства.
Чтобы связать это с предшествующим рассмотрением, удобно снова ввести репер единичных векторов, направленных вдоль координатных осей.
Свойство (4.4) дает ключ для ковариантного представления псевдотензора энергии-импульса Последний представляет собой однородную квадратичную функцию glxVt о и, таким образом, если его разложить в ряд в окрестности начала нормальных координат, первый неисчеза-ющий член будет иметь инвариантный коэффициент, являющийся функцией Rixvqo- Усреднением по малой двумерной сфере мы получаем инвариантное выражение для среднего1). Подробности расчета заключаются в следующем. Псевдотензор энергии-импульса определяется соотношением
