Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Gilv = 0. (2.1)
Эти условия по существу совпадают с условиями, найденными О'Брайеном и Сингом [10] из предположения о конечности некоторых величин на границе между двумя областями непрерывной среды.
Лишнеровиц постулирует, что пространство-время может быть разделено на частично перекрывающиеся области, в каждой из которых имеет место такая система координат, что: 1) метрический тензор непрерывен; 2) первые частные производные dgnv/dx? (= gnVi р) непрерывны; 3) вторые и третьи производные кусочно непрерывны. Предполагается, что пространство-время представляет собой риманово многообразие с определенными свойствами дифференцируемое™, не затрудняющими нашу аргументацию.
В рассмотрении Лишнеровица координатная система в одной из этих областей выбирается так, чтобы поверхность S: X0=O являлась поверхностью разрыва гравитационного поля. Тогда, согласно нашим предположениям, координатная система может быть выбрана так, чтобы все ^v, все р и все g[lVt oG, за возможным исключением guv, оо, были непрерывны на поверхности S. Теперь ковариантные компоненты тензора Римана имеют вид1)
Rqg1IV = [erv, Q],jbt — [CTJX, q],v + Tjji [QV, я] - Tav [ЄН* я]. (2.2)
Если выписать полностью первые два члена, то легко видеть, ЧТО ТОЛЬКО те компоненты Rqo\iv допускают разрыв на S, которые имеют в каждой из пар индексов да, \iv по одному индексу 0. Этот вывод совпадает с результатом О'Брайена и Синга [10].
Этим результатам можно придать ковариантную форму с помощью перехода к локальной галилеевой системе координат и введения четырехмерного репера (ортонорми-рованной системы координат, тетрапода) ортогональных единичных векторов, направленных вдоль осей локальной галилеевой системы. Тензорные уравнения можно тогда переписать в скалярном виде с помощью свертывания
Здесь используются обозначения [av, q] s -і- (gVQ> a+goa> v—
— gGV Q) и r?v E= gnQ [av, q) для символов Кристоффеля первого и второго родов соответственно. 264
Ф. Пи рани.
с векторами 4-репера; специальные же системы координат можно теперь не рассматривать.
С физической точки зрения временно-подобный вектор 4-репера имеет смысл 4-скорости наблюдателя, производящего измерения в заданной точке с помощью пространственных осей, совпадающих по направлению с тремя про-странственно-подобными векторами 4-репера. Скаляры, образованные путем свертывания какого-либо тензора с векторами 4-репера, представляют собой физические компоненты этого тензора, измеренные этим наблюдателем [И].
Для нашей цели трехмерная гиперповерхность S должна быть изотропной. Несколько неудобно иметь изотропной какую-либо из координат хПоэтому запишем уравнение для S в виде ? = 0 в плоскости я0 = 0. С помощью линейных преобразований можно в каждой точке P гиперповерхности S ввести локальную галилееву систему координат, так чтобы ds2 = rj dx* dxv, где1)
и в конечной окрестности P МОЖНО ПОЛОЖИТЬ I = = 2~~1/2(*° —я1). Если, кроме того, положить в этой окрестности ? = 2"172^0 + *1), то ё точке P ds2 = 2dl dl - {dx2)2 - (dx*)2.
Тогда, если обозначить через А величину скачка на поверхности S, то из условий Лишнеровица каждой точке P получим
НО
л ґд*8»Л-л
V dl2 ) ~~ ^v'
где Ojlv — некоторые числа. Возможные разрывы R^q0 теперь легко найти из (2.2). Непосредственные расчеты показы-
Здесь использованы единицы, в которых с = L 9. Инвариантная, формулировка теории гравитац. излучения 265
вают, что из всех a^lv вклад в тензор Римана в пустом пространстве времени дают лишь
— а22 — а33 = в и O23 = ф, (2.3)
где а и ф — произвольны. Это в точности соответствует двум типам «поперечно-поперечных» волн, полученных в линейном приближении теории гравитационного излучения [12].
Все члены в ф можно обратить в нуль поворотом координатных осей на угол arctg^/a) в плоскости х2х3.
Получающийся разрыв тензора Римана запишется теперь в ковариантном виде с помощью введения 4-репера единичных векторов1) Х?, которые в точке P направлены вдоль координатных осей, так что в точке P ^= 6«* В силу ортонормированности всюду имеет место равенство
^vW = Тla?-
Теперь введем
X^ =5 Tf?^,
так что X0^ = Xo, Xa^ = — Х?. Тогда нетрудно доказать, что
TlapXaVv = Xa^ = g^v, = 6^
и т. д. Для краткости обозначим
XS = X0ia = Xia.
Эти обозначения несколько отличаются от обозначений Эйзенхарта [13], который использует r)a? вместо r)a?«
Для обсуждения тензора Римана и других бивектор-тензоров удобно перейти к простому шестимерному формализму. Вводится 6-мерное псевдоэвклидово пространство (пространство Клейна). Векторы в пространстве Клейна являются бивекторами (кососимметрическими тензорами) в локальном касательном пространстве Минковского, опре-
Здесь |л —векторный индекс, а а служит для нумерации 4-векторов. Греческие буквы a, ?, у, а, є и латинские — а, 6, Ci d, е будут употребляться только для нумерации. При этом они пробегают те же значения (греческие—0, 1, 2, 3; латинские—1, 2, 3) и подчиняются тем же правилам суммирования, что и обычные тензорные индексы ц, V, Q, а, т, ... и /я, п, р, г ... В дальнейшем, если вместо индекса пишется его значение, то при этом понимается индекс нумерации (а не тензорный). При таких обозначениях отпадает необходимость использования индексов в скобках. 266
