Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Простейшим примером гравитационного поля в пустом пространстве-времени является поле Шварцшильда. Записывая метрику этого поля в виде
— г2 (dB2 -f sin2 0 dy2) (5.3)
и ставя в соответствие координатам т, G, ф, t соответственно индексы 1, 2, 3, 0, легко показать с помощью векторов 4-репера, направленных вдоль координатных осей, что тензор Римана имеет канонический вид типа Ic
—у aI = a2 = «3 = у3, ?ft = о. (5.4)
Однако римановы главные векторы вследствие симметрии поля, которая проявляется в равенстве а2 и а3, определены неполностью. Согласно теореме Биркгофа [19], сферические волны не могут существовать, так как поле Шварцшильда является единственным сферически-симметричным решением уравнений Эйнштейна (2.1) в пустоте.
Цилиндрически симметричная метрика, введенная Po-зеном [23] (см. также [27]) при обсуждении цилиндрических волн,
ds2 = (dt2 - dQ2) - є"2 V Ap2 - dz2,
ф = t), у = у (e, t) (5,5)
переходит асимптотически (для больших q) в метрику типа II
^ ^ і t-dtydty д^ду ~дЦ>ду .
dQ dt OQ dt dt dq dQ dt
что может быть легко получено с помощью векторов 4-репера, направленных вдоль координатных осей.
§ 6. Обсуждение результатов
Определение, предложенное в данной статье, обеспечивает однозначный локальный критерий наличия гравитационного излучения. Но оно имеет некоторые недостатки.
Во-первых, оно классифицирует как излучение лишь такие гравитационные возмущения, которые распростра- 286
Ф. Пи рани.
няются со скоростью света. Если бы оказалось, что желательно отнести к радиационным полям сигналы, распространяющиеся со скоростью, меньшей, чем скорость света, то такие поля не могли бы быть охвачены предлагаемым определением. В частности, за рамки определения выходили бы стоячие волны. Тем не менее анализ показывает, что исследование гравитационных полей в общем виде, а именно с помощью скалярных инвариантов ak и ?^1), является новым и мощным методом.
Во-вторых, определение носит локальный геометрико-алгебраический характер и не может, вообще говоря, описать изменение свойств поля излучения вдоль пути распространения. Этот пробел может быть заполнен, по крайней мере формально, с помощью введения канонических форм Петрова (3.9)-(3.11) в закон ^охранения для гравитационного поля в пустоте
(6-І)
вытекающий непосредственно из тождеств Бианки и уравнений поля (2.1). Получающиеся уравнения, которые чрезвычайно похожи на обычные законы сохранения для непрерывной среды под давлением, будут обсуждаться в последующей статье2).
Другой недостаток изложенного здесь анализа состоит в том, что он не дает никаких указаний относительно изменений в излучающей материи. Предположим, например, что статичность и сферическая симметрия шварцшильдов-ской частицы нарушены внутренними силами. Пусть эта частица затем некоторое время излучает и, наконец, снова возвращается в прежнее состояние (статическое и сферически симметричное). Может ли измениться полная масса частицы? Этот и аналогичные вопросы требуют исследования3).
х) Значение этого подчеркивалось многими в официальных беседах и дискуссиях на Бернской конференции по теории относительности в июле 1955 г.
2) Эта задача была решена Элерсом и Саксом [24] и в других еще не опубликованных работах Сакса.
3) Эта задача была рассмотрена Боннором [25]. 9. Инвариантная, формулировка теории гравитац. излучения 287
Кроме того, заслуживает выяснения возможность применения скалярных инвариантов тензора Римана в приближенных теориях Эйнштейна, Инфельда и Гоффмана. Можно надеяться, что это поможет разрешить неприятную неоднозначность интерпретации, которая возникает в этих теориях1).
Автор признателен проф. Бонди за ценные замечания и многочисленные обсуждения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Pirani F. A. E., Helv. Phys. Acta, в печати.
2. Lichnerowicz A., Theories relativistes de la gravitation
et d'electromagnetisme, Paris, 1955, p. 33.
3. S у n g e J. L., Relativity: the Special Theory, Amsterdam,
1956, Ch. IX.
4. П e T p о в A. 3., Ученые записки Казанского Государствен-
ного университета, 114, 55 (1954).
5. Ruse Н. S., Proc. Roy. Soc. (Edinburgh), 62, 64 (1944); Quart.
Journ. Math. (Oxford), 17, 1 (1946); Proc. London, Math. Soc., 50, 75 (1948).
6. Ландау Л., Лифшиц E., Теория поля, М.—Л., 1948.
7. Goldberg J. N., Phys. Rev., 99, 1873 (1955).
8. R і eman п В., Gottingen Abhandl., 13, 1 (1862).
9. Veblen 0., Invariants of Quadratic Differential Forms,
Cambridge, 1927 (см. перевод: Веблен 0., Инварианты квадратичных дифференциальных форм, ИЛ, 1948).
10. О ' ? г і е n S., Synge J. L., Comm. Dublin Inst., А,
No. 9 (1952).
11. P і г а n і F. A. E., Acta Phys. Polon., в печати.
12. E d d і n g t о n A. S., Mathematical Theory of Relativity,
New York, 1924, p. 247 (см. перевод: Эддингтон А. С., Теория относительности, М.—Л., 1934).
13. E і S е n h а г t L. P., Riemannian Geometry, Princeton 1949,
Ch. 3; (см. перевод: Эйзенхарт Л., Риманова геометрия, ИЛ, 1948).
14. Trautman A., Bull. Acad. Polon., 5, 273 (1957).
