Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Дж. Вебер и Дж. У иле р
ненты плоского эвклидова пространства по крайней мере как 1 /г (г — расстояние от начала координат). Тогда гравитационное поле убывает как 1 /г2 или быстрее, и поверхностный интеграл позволяет однозначно вычислить массу или энергию системы. Это условие не выполняется в случае бесконечной цилиндрической гравитационной волны1).
1J Мы признательны проф. М. Фирцу за разрешение процитировать выдержку из его письма к нам от 14 мая 1957 г.
«Итак, мы имеем у (оо, 71) = const, т. е. не зависит от T [из уравнения (4)]. Пусть (Q, Г) —волновой пакет, удовлетворяющий уравнению (2); мы можем предположить, что г|) (q, Т) = 0 при Q>R,— это, конечно, не соответствует строго действительности, однако практически мы можем представить себе, что обладает конечной протяженностью. Теперь мы имеем при Q > R:
где Y—положительная постоянная, а именно «энергия» волнового поля в обычном смысле слова:
(Здесь у нормировано таким образом, чтобы оно равнялось нулю на оси.) Полагая q' = ?yq, Т' = еуТ, = имеем
ds2= — dT'*+dQ'2 + Q'2dq>'2 + dz2.
Этот интервал имеет такой же вид, как и в случае псевдоэвклидового пространства. Однако пределы изменения ф' не 0 2jt, а 0-*е~~у2л. Это означает, что геометрия на «плоскости» T=Const, z= const есть геометрия на некоторой конической поверхности. Это остается справедливым с той точностью, с какой мы пожелаем, для любого Ti если Q (или q') достаточно велико. Итак, если мы допустим, что ty всюду регулярна, то геометрия оказывается «нерегулярной» на бесконечности (q-*oo), т. е. она не будет псевдоэвклидовой, хотя кривизна и обращается в нуло при больших Q. При таком рассмотрении проблемы становится очевидным, что отклонение от эвкли-довости не является следствием выбора координатной системы. Это особое поведение представляет собой свойство в большом».
Этот прекрасный анализ Фирца подсказывает идею, как можно определить некоторую величину типа энергии на единицу длины цилиндрически симметричной гравитационной волны и показывает, далее, что эта величина типа энергии является положительно определенной. Имеется некоторая весьма интересная аналогия между коническим пространством Фирца и искривленным пространством с метрикой Шварцшильда в следующем смысле: в обоих случаях Имеется отклонение от эвклидового характера, интегральное значе-
ds2 = е2'V (dQ2- dT2) + Q2dcp2+dz2,
OO 10. Реальность цилиндрических гравитационных волн 299
Чтобы иметь корректно определенную энергию, волна должна быть ограничена конечной областью пространства. Рассмотрим поэтому гравитационную волну, сходящуюся не на прямой, а на окружности. Пусть ширина импульса а будет очень малой по сравнению с радиусом Ъ окружности. Пусть для простоты начальные условия задачи заданы в момент T = О, когда импульс максимально стянут. Мы потребуем, чтобы масштабные факторы в этот момент удовлетворяли формулам
Ч.-2С (а«+ <,>)-"¦, 11-0,
ние которого на поверхности радиуса р, или г, не зависит от г и является мерой полной энергии, заключенной внутри этой поверхности. Конечно, площадь ограничивающей поверхности быстрее возрастает с г во втором случае, чем в первом; соответственно отклонение от эвклидового характера остается постоянным (оно измеряется величиной Аф) в случае цилиндрического поля и уменьшается с г в случае сферического поля. По этому вопросу мы отсылаем читателя также к обсуждению Фирца в конце работы [2].
Мы признательны Ч. Мизнеру за важное дополнительное замечание относительно возможности определения энергии в системе, которая не является асимптотически эвклидовой, и особенно в замкнутой Вселенной. Ландау и Лифшиц [8] [соотношение (98. 12) показали, что четырехмерный вектор энергии-импульса может быть представлен в виде некоторого интеграла по замкнутой двумерной поверхности, ограничивающей трехмерный пространственно-подоб-ный объем: Р0= IhP0adS*Qa. Если трехмерное пространство замкнуто, то ограничивающая поверхность S может быть стянута в точку. Это обстоятельство могло бы дать повод утверждать, как показано в тексте, что закон сохранения энергии сводится к тривиальному тождеству 0=0. Однако никакая замкнутая поверхность не может быть покрыта без сингулярности какой-либо одной системой координат. Для этой цели необходимо использовать по крайней мере два «куска» различных систем координат. Но выражение h&0a зависит от гравитационного псевд^тензора энергии-натяжений. Поэтому его значения в двух или более кусках систем координате областях, где последние смыкаются, не относятся друг к другу так, как это имеет место для значений истинного тензора. Следовательно, как указывает Ч. Мизнер, не ясно, обращается ли в нуль интеграл энергии. Замечания Фирца и Мизнера выдвигают следующий вопрос. Не существует ли в общей теории относительности для замкнутого пространства какой-либо совершенно общим образом определенной величины типа энергии, которая пока еще ясно не сформулирована?— Прим. авт. при корректуре, 300
Дж. Вебер и Дж. У иле р
соответствующим (7) и (10), при условии, что расстояние Q-измеряемое теперь от окружности — мало по сравнению с радиусом b последней. Теперь мы имеем вместо цилиндрической гравитационной волны тороидальную гравитационную волну. До момента T = O эта волна сходится к окружности, а в последующие моменты волна расходится от нее. Если волна достаточно слабая (С < а), то для рассмотрения ее поведения можно применить известную линеаризированную теорию гравитационных волн или даже принцип Гюйгенса. При очень больших значениях T она будет асимптотически приближаться к картине сферической волны. С качественной стороны волна будет вести себя подобным образом и при больших значениях безразмерной характеристики интенсивности С/а, но в этом случае анализ усложняется.
