Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
График вверху показывает форму импульса, справедливую как во время движения к оси, так и во время движения от оси, когда р и T велики по сравнению с шириной импульса а. На диаграмме внизу даны приближенные выражения для формы импульса в отдельных областях плоскости (о, Т). Символы г и р употребляются на равных правах. Асимптотическое значение масштабной постоянной Y внутри светового конуса взято равным нулю, откуда следует, что асимптотическое значение Y Есюду в промежуточной зоне есть постоянная величина:
оо
О 10. Реальность цилиндрических гравитационных волн 295
Выберем некоторый фиксированный момент времени T и возьмем произвольно малую величину є. Попытаемся описать вокруг начала координат сферу столь большого радиуса R, чтобы масштабные факторы г|> и у были меньше є всюду на поверхности этой сферы. Этого сделать нельзя, ибо такой сферы не существует. Метрика всюду регулярна, но она не становится асимптотически плоской в указанном смысле.
§ 3. Обращение в нуль плотности псевдотензора энергии-импульса
При оценке псевдотензора энергии-натяжений рассмотрим не только монохроматическую волну (5) и импульс (7), не только наиболее общее решение уравнений (2)-(4) для пустого пространства, но также и случай, когда присутствует негравитационная энергия. Тогда уравнения поля (2)-(4) больше уже не имеют места. Однако мы ограничимся случаем, когда тензор энергии-натяжений Tik для этой добавочной негравитационной энергии цилиндрически симметричен и метрика все еще имеет форму (1).
Как известно, псевдотензор tih гравитационного натяжения и энергии не однозначно определяется локальным законом сохранения, т. е. требованием равенства нулю дивергенции:
+ ^ = 0 2, 3, 4). (11)
Мы принимаем обычный эйнштейновский выбор псевдотензора энергии-натяжений, сформулированный Толме-ном [6]х) следующим образом:
1) Определим плотность функции Лагранжа
(13)
(12)
1J См. также [7] и особенно [8], гл. U- 296
Дж. Вебер и Дж. У иле р
где gilm — сокращенная запись производной dg1 lIdxm. Тогда дивергенция этой величины дает выражение для полного псевдотензора энергии-натяжений
n + (14)
которое удовлетворяет закону сохранения (И).
Расчет выражений (12)-(14) упрощается вследствие диагонального характера метрики. Мы находим
Ч=і (- g)l/2gug^ (g22 B5+^33?) (15)
dg'
и отсюда получаем значения s41 и s44. Мы не интересуемся значениями S4 2 и s\3, так как их производные соответственно по X2 = г и X3 = ф равны нулю.
Мы приходим к тождественно равному нулю значению для плотности энергии:
7-;+п=(
+ «"&У-mkС ¦-1 + 2^)-<16>
Иными словами, если материя отсутствует, то плотность гравитационной псевдоэнергии (компонента t\ псевдотензора энергии-импульса) равна нулю, как это уже было показано Розеном [2]. Если материя присутствует, правые части уравнений поля (2)-(4) должны быть исправлены, но расчет плотности энергии (16) остается в силе. Гравитационное поле автоматически подстраивается таким образом, чтобы плотность псевдотензора энергии гравитационного поля была равна и противоположна по знаку плотности всех прочих форм энергии. Подобным образом гравитационный вклад в плотность импульса в радиальном направлении в точности компенсирует все прочие вклады в этот импульс:
TJ+/J = O. (17) 10. Реальность цилиндрических гравитационных волн 297
Результаты (16) и (17), несмотря на свою внушительность, бессмысленны. Величина Tik есть тензор, однако tik не является тензором. Преобразование координат не изменяет значений четырех независимых инвариантов Ip тензора Tiky определяемых соотношением
^4 + ^3Zi + ^2Z2 + XZ3 + Z4 = (Л + ГІ) T21 Т\
грі 1 1
Т\
Т\
т\ (X + 7J)
(18)
Соответствующие величины iv i2, /3, /4 для псевдотензора tik не инвариантны; им можно придать в любой точке произвольные значения путем подходящего преобразования координат, или путем изменения определения (14) псевдотензора энергии, совместимого с законом сохранения (11), или же путем какой-либо комбинации этих способов.
С физической точки зрения не имеет смысла утверждать, что плотность гравитационной энергии равна нулю или что поток гравитационной энергии обращается в нуль. Никакой эксперимент не позволяет проверить, равны ли эти величины нулю. Плотность других форм энергии может быть измерена по гравитационным полям, которые они вызывают. Но энергия гравитационного поля сама не фигурирует как источник в эйнштейновских уравнениях поля, так что не имеет смысла говорить о плотности локализованной гравитационной энергии, как об источнике измеряемого гравитационного поля.
Только полная энергия имеет вполне определенное значение, и то только в том случае, если удовлетворяется ряд весьма специальных условий. Например, для замкнутой Вселенной не имеет смысла такая величина, как полная энергия [6]; здесь интегральные законы сохранения сводятся к тривиальному тождеству: 0 = 0. Для определения полной энергии необходимо, чтобы метрика становилась асимптотически плоской. Точнее, должна существовать система координат, в которой компоненты метрического тензора переходят в соответствующие компо- 299
