Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
представляют в действительности парадокса, что кажущееся аномальное поведение этих волн полностью согласуется с принципом эквивалентности общей теории относительности.
§ 2. Цилиндрические волны
Сферические гравитационные волны, подобно электромагнитным сферическим волнам, никогда не могут быть в точности сферически-симметричными. Тензор поляризации в первом случае (или вектор поляризации во втором) не может сохранять постоянное значение и непрерывно изменяется при движении по поверхности сферы, в соответствии с теоремой топологии о неподвижной точке. Цилиндрические гравитационные волны, подобно цилиндрическим электромагнитным волнам, лишены этой трудности. Поляризация в некоторой точке описывается малым эллипсом в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны. Этот эллипс описывает расстояния от некоторой центральной пробной частицы из набора пробных частиц, которые первоначально покоились на окружности, пока не пришла волна. Одна из главных осей этого эллипса параллельна, а другая — перпендикулярна к оси цилиндра. По мере продвижения фазы колебаний, длинная ось становится короткой, и наоборот, но оси не поворачиваются. Цилиндрические волны Эйнштейна и Розена не обладают другим независимым состоянием поляризации, в котором главные оси повернуты на 45° к оси цилиндра.
Положение точки описывается цилиндрическими координатами Q, ф и Z. Произведение скорости света на время обозначается через T. В этих координатах метрика Эйнштейна и Розена имеет вид
ds2 = e2Y-24> (- dT2 + dQ2) + Q2 dcf2 + е2^ dz2, (1)
где масштабные факторы у и ф зависят только от q и Т. Для метрики вида (1) уравнения тяготения в пустом Пространстве будут выполнены При условии, ЧТО яр И Y удовлетворяют следующим уравнениям:
-^TT = О, (2)
19* 292
Дж. Вебер и Дж. У иле р
Yo«eM>5+*H. (3)
Yt = 2Q\|?0\|тт. (4)
Решения уравнения (2) хорошо известны и представляют цилиндрические волны. Сначала считали, что эти волны способны переносить энергию на неограниченные расстояния, поскольку можно написать решение, представляющее распространяющиеся волны, где первый масштабный фактор имеет следующий вид:
= AJ0(MQ) COS Qbt + BN0(QbQ) sin Qbtf (5)
а второй фактор, в частном случае A = B, сводится к выражению
y = y A2QbQ [J0 ((OQ) Jt0 (cdq) + N0 ((OQ) N0 и) + + (OQ [(/0 ((OQ))2 + (Jf0 ((OQ))2 + (N0 ((OQ))2 + (N0 ((OQ))2] + + Wo (oQ) jO (®в) - ^o (®в) ^ ((OQ)] COS 2(0Г + + [Л (©в) К (®е)+^o (®в) (®в)1 Sin 2(0Г} - I A2QbT.
(6)
Последний член в (6) апериодически зависит от времени. Это ведет к систематическому изменению метрики со временем, что интерпретировалось вначале как результат потери энергии. Розен [4] выдвинул аргументы против этой интерпретации. Следуя Розену, мы исключим решения, содержащие сингулярную функцию Бесселя N0(QiQ)1 вследствие их неудовлетворительного поведения в нуле.
Более интересным, чем монохроматический масштабный фактор вида (5) с ? = 0, является импульс, представляющий линейную суперпозицию таких волн [3, 4]. Мы складываем такие волны с амплитудным множителем А = 2Се~ш, так что
OO
г|) = 2С ^ e-a(dJ0 (щ) cos QbT dob = о
= С [(а- ІТ)2 + q2J-V2 + С [(а+ ІТ)2 + q2]-v2. (7) 10. Реальность цилиндрических гравитационных волн 293
Величина а является приближенной мерой ширины импульса*).
Рассмотрим некоторое значение расстояния q, очень большое по сравнению с а. Тогда выражение (7) будет велико лишь при значениях T1 лежащих вблизи —е и + р. Первый момент времени соответствует прохождению сходящейся волны; второй момент — прохождению волны, расходящейся в бесконечность.
Рассмотрим случай большого отрицательного T и найдем форму импульса в этот момент времени. Введем безразмерную величину х по формуле Q= — T+ ах. Тогда импульс будет иметь приближенную форму
ф - 2С (- 2аТ)-v. { '+4+?178 }1/2, (8)
изображенную на фиг. 1. Импульсы другой формы можно легко построить, комбинируя два выражения в формуле (7) с постоянными фазовыми множителями еі6 и соответственно. Форма рассматриваемого импульса не изменяется со временем до тех пор, пока он не подойдет близко к оси. Напряженность, очевидно, обратно пропорциональна корню из расстояния от максимума импульса до оси, как это и следует ожидать для цилиндрической волны. На самой оси масштабный фактор г|? имеет значение
. 2Са /п\
У = а2+Т2 • (9)
Второй масштабный фактор у определяется с точностью до постоянной величины путем интегрирования формул (3) и (4), что приводит к следующему выражению:
Y = 4 C2 {а'2 - Q2 [(а - іТ)2 + Є2]"2 - Є2 [(а + ІТ)2 + Є2]"2 -- а"2 (T2 + а2 - Q2) [Г4 + 2T2 (а2 - е2) + (а2 + е2)]-1/2}. (10)
1J Мы признательны У. Боннору за предоставление нам препринта его работы [5], в которой рассмотрена та же самая форма волны Фиг. 1. Цилиндрическая гравитационная волна типа импульса, описываемая уравнением (7), сконцентрирована около радиуса q = — T для отрицательных значений T1 т. е. в период, когда она сходится к оси, и сконцентрирована около q = + Tt когда она расходится от оси симметрии.
