Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Представим себе некоторую функцию, разложенную в степенной ряд по параметру X=Ifc (с будем считать произвольным и не равным «единице»):
Ф = оФ + іФ + 2Ф+ ••• • (5.1)
Здесь индексы слева внизу означают степень X9 в которой этот параметр входит в соответствующее ф.
Если функция ф(л^) изменяется быстро в пространстве, но медленно по X0t то мы вправе не рассматривать все ее производные одинаковым образом. Производные по х° будут более высокого порядка, чем пространственные производные. Это обстоятельство можно формально выразить, полагая
-gjo (ІФ) = І+ІФ,0; (5.2)
это означает, что дифференцирование по я0 повышает степень Xt входящую в соответствующее ф, на единицу.
Задача теперь состоит в том, чтобы выяснить, с какого порядка мы должны начинать разложение в степенной ряд величин, фигурирующих в уравнениях поля.
Разложение величины Ss начинается (как естественно условиться) с «нулевого» порядка. Она будет неизвестной величиной, определяемой уравнениями движения; пока мы не будем разлагать Ss в степенные ряды. Отсюда
следует, что \s будет «первого» порядка и І3 — «второго». Из сказанного следует разложение
am = 2m + 5m + jm+ .
(5.3) 176
Jl. Инфельд
То обстоятельство, что разложение здесь начинается с 2т, не является уже чисто условным. Действительно, в ньютоновском приближении, которое мы надеемся получить, имеем в выбранных нами единицах
.. Масса X Масса
Масса X Ускорение =
(Расстояние)2
Так как ускорение — величина второго порядка, то порядки обеих частей будут равными только в том случае, если масса является величиной второго порядка.
Во всех разложениях в степенные ряды мы будем учитывать только четные (как в ат) или только нечетные степени X (Инфельд [8]).
Таким образом, указанный порядок величин ат и приводит к следующим разложениям TaP
т00 = joo + joo + joo -i- ... f
Tom = 3Tom + 5Tom+... , (5.4)
ymn _ Ymn Ymn -j-
Запишем теперь метрический тензор в виде
ftiv = Tinv + AjiVI g»v = Vfkv + ^v- (5.5)
Из уравнения тяготения следует
Ra? = , (5.6)
где
, /
Ra? = Ra? \ — g,
Я1"888 -{ IlV I Qv}-
Г Ql fa ifiv J \qc
e"a} • (5.7)
Из рассмотрения правой части уравнения (5.6) следует, что разложение R00 и Rmn начинается с членов второго порядка и Rom — с членов третьего порядка. Выражениями наинизшего порядка в левой части уравнения являются: 5. Уравнения движения в общей теории относительности 177
в Яоо • 2 ^00' ss'
В Rmn • "о* Amn ss+-о" Ams ns+ о" Ans, ms
І 1 (5-8)
2 Ко, mn 2 ^ss' mn>
В Rom • 2 Kmt SS "Ь A0sf ms -(- -g- Ams ^ 0s ^ Hss^ m0.
Следовательно,
Aoo= 2A00 "і- 4A00 "!"•••»
Km = зА0т + бАот + • • • » (5-9)
A mn = 2A mn 4A mn • • • •
Все встречающиеся в дальнейшем функции получаются из величин Ajav путем суммирования, умножения и дифференцирования. Для каждой компоненты имеет место следующее правило: любая компонента, имеющая нечетное (четное) число нулевых индексов, содержит в своем разложении только нечетные (четные) степени К.
§ 6. Ньютоновские уравнения движения
Попытаемся найти уравнения движения в низшем (ньютоновском) приближении. Мы осуществим это таким путем, чтобы сделать по возможности более простым обобщение на постньютоновское приближение.
В силу (5.6) и (5.8) уравнение поля наинизшего порядка имеет место для Л00:
2 zKo, ss = — ^2T00 — ~2 2^°° ^ = P
= — 4л 2Т00 = — 4я 2 а2таЪ, (6.1)
а=1
или
V
2Аоо,вв = 8я 2 б. (6.2)
а— 1
12 Заказ № 738 178
Jl. Инфельд
В качестве решения этого уравнения мы берем ньютоновское поле, т. е.
2^00= -2imV"1 -2JmV"1-... , (6.3)
где
V=(Xe-aE8)(JCe-eEe)- (6.4)
Запишем для краткости
A0= ф, (6.5)
и в случае двух тел, который мы для простоты и рассмотрим, будем иметь г)
ф =
f = —2 1Ht V"1, g=- 2 2ZnV1, (6.6)
1E = E, Ч = ч.
Вследствие (5.5) и соотношения
rt?o==oS, (6.7)
имеем
Jiqq= -<р. (6.8)
Интересующая нас часть ф, а именно g, не зависит
от Е; следовательно,
_ _ _ _
2^00 ,3 = 2^00 ,S = g,8 = ^ = g^s. (6.9)
Нет оснований делать допущение, что 2т постоянна. Однако это следует из (4.15) или из первого уравнения (4.14).
Вследствие (6.9) и в силу того обстоятельства, что в низшем порядке отсутствуют какие-либо произведения величин „Л", условия (4.10) и (4.27) выполняются, а это означает, что траектория является «геодезической линией» и может быть выведена из лагранжиана
X=GtoiaW1'*, 2^=(i-isis+g)1/2, (ело)
— і • • і — 1 • • 2m
,X= —jIsIs + Y8= —g-6'Г-Т'
T2 = (Is-Tf) (Ss-Tls). (6.11)
') Не путать это g в (6.6) с g=| | 5. Уравнения движения в общей теории относительности 179
Таким образом, уравнения движения с учетом членов второго порядка имеют вид
d діб die п //% 1ЛЧ
1 (6Л2)
т. е.
Лагранжиан <5?** для обеих частиц имеет вид
1ZTZ 2ZTZ
4<?**= ^ ^mVV-J2ZnTi8Tie—(6.14)
Ньютоновский лагранжиан для обеих частиц имеет четвертый порядок. Так как (m/p,) = (dt/ds), то
2m = 2|л, Jm = у Jm + . (6.15)
Можно получить уравнения движения, непосредственно исходя из (4.17). Тогда мы имеем просто
