Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ло = Ло + 24а0.о- (9.4)
Поэтому могло бы показаться, что лагранжиан, а вместе с ним и уравнения движения, также должны измениться. Выражения, которые изменяются в лагранжиане (8.4), есть
Кіч—Ж- (9.?
и вызванное ими изменение в лагранжиане, в силу (9.3) и (9.4), имеет вид
=?' + ^T= ^r- (9.6)
Следовательно,
«а
б ^ AJpdt = 6(a0) J2 = O. (9.7)
h 1 Это означает следующее: уравнения движения однозначно определены с учетом членов четвертого порядка уравнениями поля и нашей процедурой приближений. Ни гармонические, ни какие-либо другие координатные условия не играли никакой роли в нашем выводе уравнений движения.
§ 10. Общая теория
Сформулируем теперь общую теорию1), в соответствии с которой мы поступали в нашем частном случае и в рамках которой мы нашли уравнения движения во втором и четвертом порядках. Такая общая теория не имеет большого
Развиваемые здесь идеи возникли несколько лет назад. Шей-дегер ссылается на них в § 5 работы [17], утверждая, что они были предложены мной. Я нашел болзе отчетливую формулировку подобных идей в работе Рамешварарао [18]. Другая возможная общая формулировка теории дана в нашей работе с Плебанским [19]. 5. Уравнения движения в общей теории относительности 189
практического значения, так как едва ли имеет смысл с физической точки зрения проводить расчеты в последующем приближении. Более того, нам представляется (и мы обсудим это позже), что надлежащим выбором системы координат мы можем уничтожить все вклады в уравнения движения выше четвертого порядка. С формальной точки зрения важно знать, что процедура при желании может быть продолжена. Конечно, мы ничего не знаем относительно ее сходимости.
Прежде чем сформулировать общую теорию, напомним, что нами здесь уже достигнуто. Мы имели ньютоновские уравнения движения:
~~~ ^ di3)x = 3Л° = О,
(10.1)
dt С
Ts J
di3)X — 4Ап — 0.
Так как \т появляется в виде коэффициента, мы называли эти уравнения (после деления их на \т) уравнениями второго порядка. Здесь, однако, в силу наличия множителя \т, такое уравнение выступает как уравнение четвертого порядка. Вследствие этого для настоящего параграфа мы переименуем порядок уравнений движения, называя ньютоновские уравнения движения уравнениями четвертого порядка и постньютоновские уравнения — уравнениями шестого порядка. Положим вообще
— [ T0vd х- А*
-jj j 271 Iі ;V а(3)Л — 2п-1П » Sdt c _ (10.2)
Тем самым для наших постньютоновских уравнений движения мы имеем
3ЛЬ + До = 0, й* + вТп = 0. (10.3)
Из этих уравнений мы получили
ат = Im + Jm, T = Jgs + (10.4)
где Jls представляют движение в ньютоновском приближении. Чтобы найти эти уравнения в явной форме, мы 190
Jl. Инфельд
воспользовались в вЛт ньютоновским уравнением движения, поскольку использование a^s вместо aIs должно давать вклад восьмого порядка в уравнения движения. Выразим эту идею символически, написав вместо (10.3)
Таким образом, 4Лт(0?4-2?) также дает вклад шестого порядка. Чтобы получить (10.4), поле должно быть найдено:
для т, п — с учетом членов порядка 2hmn (0g), для 0, т — с учетом членов порядка 3Л0т( для 0, 0 —с учетом членов порядка 4Л0о(оЮ-Предположим, что мы хотим продвинуться на один шаг дальше. Тогда мы имеем уравнения движения
(об + + Л) + 5Л0 и+?) + И0 Ш =о,
4Лт (об + + А) + (об + .Б) + 8Лт (об) = 0. (1и'Ь)
Аргумент функций 3Л, 5Л, 4Л, вЛ в (10.6) иной, чем
в (10.5); следовательно, они дают вклады вплоть до
восьмого порядка. Однако, чтобы найти 8Лт(0?), мы должны знать величины
4 ^mn' 5^0m' 6^00' (10.7)
как функции от 0|. Таким образом, обозначая
Qap= -8я( Tap-т), (10.8)
мы должны решить следующие уравнения (опуская индексы а у і):
2Rmn (об + ,6)+JCn (0б) = 2<Г " (об + .6) + 4<ГП (об). 3R°m (об 4- 2б) + 5Rom (об) = fiT (об + 2б) + 5Qora (об),
2R°° (0l + ,6 + Л) + 4R00 („б + 2б) + eR40 (об) = 1 ш '
= 2Q00 (об + 2б + 46) + 4Q00 (об + 2б) + eQ00 (об).
Может показаться, что эта задача не разрешима, так как, чтобы решить последнее уравнение в (10.9), мы должны были бы знать 4g, которое мы хотим найти 5. Уравнения движения в общей теории относительности 191
с помощью уравнений (10.6). Однако это не так, поскольку мы имеем
р
2R00= - уЛо.«в -4я2 атao = 2Q00 (10.10)
O= 1
для произвольного движения. Поэтому мы можем переписать последнее уравнение в (10.9) в следующем виде:
4R°° (об + .6) + .R00 (об) = 4Q00 (об + 2І) + в000 (об)- (10.11) Собирая здесь выражения шестого порядка, находим е^оо (о?)- Аналогичным путем можно найти 5h0m и Jimn. Таким образом можно продвинуть наше приближение еще на один шаг.
Теперь можно сформулировать общую теорию. В разложении ga?, R1 T мы принимали во внимание произвольное движение. При этом допущении мы использовали разложение, скажем,
Ттп = jmn + jmn + ^mn + _ . ( 10.12)
Теперь же, вместо произвольного движения, введем в качестве аргументов определенное движение, разложенное в степенной ряд
1 = + ? + , (10.13)
и запишем, например,
Л6 + 26+46). (10.14)
