Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Jl. Инфельд
ния, что и лагранжиан (8.7), и который, во-вторых, инвариантен по отношению к замене
1Zrcg 2тт]. (8.8)
Умножим X* в (8.7) на 1Zrc. Уравнения движения останутся теми же самыми. Добавим следующее выражение:
jMVV)2- (8.9)
При таком добавлении уравнения движения первой частицы не изменятся, так как выражение (8.9) не дает в них никакого вклада. При этих изменениях единственным выражением в лагранжиане, неинвариантным по отношению к замене (8.8), будет последний член в (8.7), я именно
-Y1m2mr^sV ^r' (8Л°)
Но вместо него мы можем написать выражение
±im*mrfls ^ri'rf, (8.11)
которое инвариантно по отношению к замене (8.8) и дает тот же самый вклад в уравнения движения.
Выражение (8.10) дает следующий вклад в уравнения движения первой частицы:
1 ¦ ¦ 1 * ¦
у 1т2/ті г ^ r^n T]s Tir = — у гт2тг ^ ^n if т|г. (8.12)
Вклад выражения (8.11) будет иметь вид 1 eI • •
у 2т (r^ryrfXo - "2 lfn 2/nr,SsW1^s = = у lm 2т (г ^rlSTjr І3 + г^rneцгif + г^rrf - Z-^ng8Tjr) =
= у 1Zn2/?!(г 6пчу if V + Z^v (8Л 3^
Однако последний член в (8.13) равен у 1Zn2ZTZ г ^r ^f = - 1Ztc 2т ( - ^f + ^l^zJM^ll ^ г]г.
(8.14) 5. Уравнения движения в общей теории относительности 185
Так как
то выражение (8.14) обращается в нуль и, следовательно, (8.10) и (8.11) дают одинаковые вклады в уравнения движения.
Таким образом, обозначая окончательный лагранжиан для двух частиц через <?**, будем иметь
-J1-^itt + Л8 Л8) + 4S8 л8(S8Se)8--(V Л8)2 + і 1/Уг2/Уг(У + 2/Уг) + і *т'т г ^
(8.16)
Уравнения движения первой частицы, следующие из этого лагранжиана, имеют вид
їп - 2т (I)^fl = 2m { [ Hs + 4 ^ns - 4Г л8 -
-4 T - 5 T ] (т),*»+^ - ^ + 3^s--4VV] (I)^s + krtV^'}' (8.17)
Уравнения движения другой частицы получаются заменой lm, 2m, g, л на 2m, Ъи, л» S (8.18)
соответственно.
Обобщение этого результата на случай р частиц почти тривиально, если учесть изменения в Лоо» обусловленные добавлением этих частиц (Приложение Б). Эти добавочные выражения обязаны, например в случае трех частиц, взаимодействию между второй и третьей частицами; это означает, что в уравнения движения для первой частицы они дадут вклад, пропорциональный ^m 2т Зга. Эти выражения появляются в <#** из двух источников: из JlQ0 и из <р2 в (8.6). Если мы теперь обозначим «расстояние» 186
Jl. Инфельд
от а-й до Ь-й частицы через
(<аь)г)2 = (ag. _ bgS) (ags _ Ь^ J Q)
то лагранжиан для p частиц будет иметь вид
___ с/?** і с2Г**
«Л/ — 4оС/ -р goO =
P P
= - у2 am^si^-J ать"I(Wr)'1-
a=l а, Ь=1
а=?Ъ
P
а, Ь=1 афЪ
г
+ 2 2' ambm(Wr)-i^bgs
а, Ь=1 а=?Ъ
р Vf
~т2 a/n(a^s аЬ2 +T a^b^(am+bm)(Wrr2+
G=I а, Ь=1
а=?Ъ
Р ,
а, Ь=1 афЬ
P ^
+ T S'' a/n b/n°m [((abV (acV)"1 +
а, Ь, с=1 афЬфс
((bc)r (ba)r)-l ((ca)r (cb)r)-l]. (8.20)
В случае двух частиц лагранжиан (8.20) сводится к (8.16). Единственным новым выражением, появляющимся в (8.20), является последнее выражение; в случае трех частиц, если использовать обозначения Приложения Б, оно имеет вид
__ 1" 2 4ooo""" 4
1TCl^dSftft--
где 4s00 — представляет собой изменение в AV обусловленное взаимодействием второй и третьей частиц, а величина k играет для третьей частицы ту же роль, какую играют 5. Уравнения движения в общей теории относительности 187
fug для первой и второй частиц соответственно. Поэтому величина --jgk представляет собой вклад в лагранжиан взаимодействия между второй и третьей частицами, проистекающий от члена —4-ф2 в (8.6).
§ 9. О выборе системы координат
Гармоническое координатное условие имеет вид
К-SfJ1VvI-V = O1 (9.1)
что в нашем случае означает
A = 0, A +^o0 = O. (9.2)
Ни одно из этих условий не выполняется в нашей системе координат.
Значения 2А00 и Jimn, которые мы выбрали здесь, были ньютоновскими значениями. Мы условились, что их выбор характеризует нашу процедуру приближений. Однако есть некоторые основания рассматривать такой подход как слишком формальный. Вместо наших значений Jimn мы могли бы выбрать
2hmn — Jx-Oin + 2aTUt п + 2m'
где а — произвольные функции. Эта замена Jimn на Jitmn могла бы быть вызвана изменением системы координат, не нарушающим процедуру приближений. Физический смысл выбора 2aw = 0 заключается в том, что мы предполагаем существование некоторой системы координат, в которой каждое из двух тел проявляет свою сферическую симметрию, т. е. такой системы координат, в которой поле при
%т —> 0 и I —> 0 переходит в поле, определяемое решением Шварцшильда в изотропной координатной системе. Наша процедура приближений неявно предполагает выбор такой системы координат. Однако этот выбор 2ат = 0 относится только к начальной стадии нашей процедуры приближений; поэтому он не сказывается на 3h0m. Если заменить 3h0m на
з^от — J1Qm ~ь Зао, т<
(9.3) 188
Jl. Инфельд
где За0— произвольная функция ха, то уравнение (7.5) по-прежнему будет выполняться. Это изменение в 3А0т может быть вызвано изменением системы координат, не нарушающим нашу процедуру приближений. Такое изменение вызовет также определенное изменение 4Л00 (Приложение Б):
