Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
6'+{?}-0 (6.16)
или
r-[00,s] = r+ig,s = 0, (6.17)
что совпадает с (6.13).
§ 7. Переход к следующему приближению
Чтобы найти уравнения движения с учетом членов четвертого порядка, мы должны, кроме 2AU0, знать также величины
tJlmn, зA0m? ^ft00. (7-І)
С первыми двумя дело обстоит просто. Левые части соответствующих уравнений даются выражениями (5.8), правые же части — выражением (5.6), и для тп и Om соот-
12* 180
Jl. Инфельд
ветственно имеют вид
-4я6тп {\тЧ + ІтЧ),
8л(1т Іт 1S+ Imrfn 26). (7.2)
Следовательно, для величин 2hmn имеем уравнения
2 2^mn ,ss + ~2 2^ms ,ns + ~2 2^ns ,ms 2 2^ss 'mn ~2 Ф>тп ~
= " У (7'3)
Мы ищем решение ньютоновского характера. Таким решением является
2Лтп=0тпф. (7.4)
Выбор этих ньютоновских решений для 2Л00 и 2hmn следует рассматривать как составную часть нашего метода приближений (§ 9).
Следующим шагом является расчет 3Л0т. Из (5.8) и (7.2) снова имеем
— — h и , }_ и __} и —
2 о on ,ss + 2 3 ,ns + 2 3 ns »0s 2 3 ss 'n0 ~~
= 81101^6 + 1/72^"?). (7.5)
Подставляя (7.4) в последнее уравнение, получаем
- і An ,ss + T As ,ns - ф.„0 = О in 1S + > Tln 2б). (7.6) Решение, которое мы выбираем здесь, имеет вид
sh0n=-2ft-2g4'\ (7.7)
Это не единственное возможное решение. В § 9 мы рассмотрим более общее решение и обсудим его влияние на уравнения движения.
Вычисление 4/г00 требует более кропотливых расчетов (см. Приложение Б). Здесь мы приведем лишь те существенные члены 4Л00, которые дают вклад в 4Л00 и 4Л00 ,а- 5. Уравнения движения в общей теории относительности 181
Это следующие выражения:
Д0 ~ 2 (2т)2 (•/¦)-«—3t)' Л8 2т (2/-)"1-2т V00+21W 2т (г «г)"1.
(7.8)
Посмотрим теперь, приводят ли эти выражения для 2Amn, 3Л0П, 4/z00 к уравнениям движения, эквивалентным уравнениям «геодезической линии», т. е. удовлетворяются ли условия
UH^t?O^' (7.9)
ga? ,S= ga? ,s, -^ = 0. (7.10)
дїг
Для 2hmn и 3h0m оба условия выполняются. Эти выражения имеют сингулярность порядка 1 /г, т. е. сингулярность нечетного порядка; следовательно, для них выполняется соотношение (7.9). В интересующую нас часть этих
выражений ни I, ни І не входят явно; следовательно, для них выполняются условия (7.10). Однако с 4Л00 дело обстоит иначе. Это выражение имеет сингулярность четного порядка вследствие появления (V)"2. Однако это обстоятельство не существенно, так как 4Л00 входит в уравнения движения только линейно. Поэтому мы можем не обращать внимания на выполнение условия (7.9) для 4/г00. Но удовлетворяется ли для 4Л00 условие (7.10)? Во всяком случае оно удовлетворяется для первых двух выражений, т. е. для 2(2m)2 (2/*)"2- 3t]st]s 2т(2/*)-1, так как
ни одно из этих двух выражений не зависит от g и ?. С третьим выражением
- 2т 2Г оо = _ 2Ш 2Г^r __ 2Ш (7.1 1)
мы должны быть более осторожны. Первый член в правой части не зависит от g и но второе выражение содержит Tjs. Здесь мы можем ввести для 2mrf = — 1Aftgs ньютоновское значение, так как ошибка будет шестого порядка. 182
Jl. Инфельд
Таким образом, мы можем положить
а = - 2zrc V ^8 = 1Zrc 2zrc V ^3 ^ = = [1ZTZ 2zrc {Xs - Tis) (V)"1] {Is - ті9) Г3. (7.12)
Производная этого выражения по обращается в нуль в точке Xs = так что
= (7.13)
С другой стороны,
= 1Zn 2т{г2)Лш.
Подобная ситуация встречается и в последнем выражении в 4Л00:
? = 21ZTC2zrc(z*2r)"1. (7.14)
Мы имеем
Х8 = 21/п2шГ1(І))8 = 2 1ZZZ 2ZTc Г1 (Г 1X (7.15)
?jS = 2 1ZTC 2ZTC (z"~2)
Следовательно,
= (7.16)
Однако легко можно найти некоторое вспомогательное поле, которое мы будем обозначать через hl0, такое, что
4^00, т = 4^00, m- (7.17)
Отсюда следует, что такое 4Л*о имеет следующий вид:
^=2 (2ZTc)2г"2~3'ті3 V 2Zrcr1-2ZTC г V ^+1ZTc 2Zrc Г2. (7.18)
§ 8. Постньютоновские уравнения движения
В общих уравнениях движения (4.17) с учетом членов четвертого порядка 4Л00 появится только один раз,
а именно в выражении і4Лоо,m. В силу (7.17) это озна- 5. Уравнения движения в общей теории относительности 183
чает, что лагранжиан с точностью до четвертого порядка существует
^* = ??- (8-І)
причем
где groo Ф goo И
goo = Цоо + 2Л00 + 4^00 = 1 + ф + A. (8.3) Следовательно,
^* = (1+ф + Жо-І8 Is + Ф Ee І8 + Ao I3Yh- (8.4) Подставим сюда следующие значения:
Ф= -2 2Znr1, Л^=42Znr1V, 2 (2m)2r2 - 3r)sT)s 2Znr1 -2 тг ^гц* ^r + 1т 2т Г1. Учитывая, что с учетом величин четвертого порядка
(1 + 2а + 4a)V 2 = 1 +1 (2а + 4а) -12а2, (8.6)
получаем из (8.4) и (8.5) следующее выражение для лагранжиана:
A* = ^*+^*= - і-Hs-2Znr1-
Г1 (E3 E3 + ^lS3) + 4 2Znr"1 E3 V -1 (Г Г)2 +
, 1 2m(lm + 2m) 1 „ 's* г /о
+ У г* - у 2fnr^ tI - (8-7)
Предполагается, что это есть лагранжиан первой частицы. Однако мы хотим найти лагранжиан для обеих частиц. Под этим подразумевается такой лагранжиан, который, во-первых, дает те же самые уравнения движе-
г) См. работу Фихтенгольца [16], где лагранжиан находится механически из уравнений движения в явной форме, а не уравнения движения из лагранжиана, как в настоящей работе. 184
