Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Jl. Инфельд
Два последних выражения, стоящие под знаком интеграла, дают нуль, так как они представляют собой произведения симметричных б-функций и нечетных степеней (X8-Is). Таким образом,
ф1|5 = ^ ф l|)6d(3) X = ф ?.
Однако соотношение (2.11) не имело бы места, если бы ф или г|> обладали сингулярностью порядка (Г2. Вообще, (2.11) справедливо в тех случаях, когда в сингулярных частях ф и ij) фигурируют нечетные степени q. Следовательно, нужно быть осторожным при использовании последнего уравнения.
Итак, мы имеем векторы и тензоры, определенные только вдоль кривой, типа Sa, Ta? и т. д. Мы можем определить метрический тензор вдоль кривой ga? И ga? , для которого, предполагая выполнение соотношения (2.11), будем иметь
(2.12)
К таким тензорам мы можем применять тензорную алгебру и тензорный анализ, но только вдоль кривой. Так как
i^?= \ ga?odo)* (2.13)
Й(3)
(где ?(3) — малая трехмерная область, окружающая сингулярность), то ga? будет тензором вдоль кривой, если o(3) является инвариантом.
Четырехмерная релятивистская б-функция Дирака 6(4) представляет собой скалярную плотность вследствие инвариантного соотношения
$6(4)d(4)*=l. (2.14)
Положим теперь
6(4) = 0(4) (Xа -Sa), (2.15)
где
Ia=Ia (*),
(2.16) 5. Уравнения движения в общей теории относительности 167
Причем А, —некоторый инвариантный параметр. Тогда мы можем построить функцию, являющуюся скалярной плотностью
+OO +OO
5 6(4) d!K = \ 6(4)^10 = ??. (2.17)
—OO —OO
Поскольку речь идет о трансформационных свойствах, это является определением 6(3). Итак, 6(з) представляет собой нулевую компоненту векторной плотности. Из этого определения следует, что
\ 6(3)d(3)*= $ 0(3)^(3)*^ = "(3) "(3)
< = + OO
= \ \ o(4)d(3)*df= ^ o(4)d(4)*. (2.18) ?(3) Q(4)
Следовательно, пространственный интеграл от 6(3) является инвариантом.
Сделаем еще одно замечание относительно обозначений. Если мы имеем несколько кривых, то, чтобы различать их, будем приписывать индекс слева вверху: (а = 1, 2, ..., р). Тогда нам следует также писать аф, подразумевая выражение
«ф= J ^ddiS) Xi ao = 6(3) (*S-T). (2.19)
0(3)
Однако для простоты не будем всегда писать индекс а около черточки, понимая при этом, что имеется в виду первая (или единственная) кривая: ф = хф.
§ 3. Уравнения тяготения
Уравнения тяготения, выраженные через контравариант-ные тензорные плотности, имеют вид
Ga? = Ra?-IgapR= -8nTa?. (3.1) 168
Jl. Инфельд
В частном случае, например, двух частиц, движущихся вдоль мировых линий 1Is и 2gs, имеем
7^ = 1/^10 + ?^?. (3.2)
Введем инвариантный и конечный интервал, относящийся к первой частице (опуская индекс «1» слева):
ds2=s'ga?dla dtp. (3.3)
Из тензорной плотности мы можем построить тензор вдоль (первой) кривой
5 [ ТаЫ{3)Х = №й . (3.4)
ds J ds
0(3)
В следующем параграфе мы увидим, что, в силу уравнений поля, должны иметь место следующие уравнения [14]:
f«? =^ = IiE"'У, Sa' = = Sa (3.5)
ds ds
(здесь [і — масса покоя). В § 4 мы не только покажем, что /a? имеет вид (3.5), но и то, что масса покоя ja является постоянной. Пока же мы используем (3.5), как некоторое допущение, не предполагая постоянства \х в (3.5). Из уравнений (3.5) следует
= ^a g?'-/Hgagpf ga = | (ga), ± s | . ^
и
7a?= 2amagaa|?ao. (3.7)
a=l
Прабые части уравнений тяготения однозначно определяются условием, согласно которому тензорная плотность Ta? линейно зависит от а6-функций.
§ 4. Уравнения движения в общем виде
Как следствие тождеств Бианки мы всегда имеем
Gap?=(^Ra?-yga?R^)?= ~8rtTa??--=0, (4.1) 5. Уравнения движения в общей теории относительности 169
где точка с запятой обозначает коварнантное дифференцирование. Беря интеграл от T^ по трехмерной области, окружающей первую сингулярность, и умножая на dt/ds, получаем
0(3)
где Aa представляет собой некоторый вектор, определяемый соотношением (4.2), вдоль первой кривой. В общем случае
аЛ^ = 0, а = О, 1, 2, 3, а = 1, 2, ..., р, (4.3)
где р — число сингулярностей. Итак, мы имеем 4р уравнений (4.3), которые являются следствием уравнений поля и которые мы назовем уравнениями движения р сингулярностей. В самом деле, они содержат 4р неизвестных:
48(t) и am(t), S= 1,2,3, ?1=1,2, ...,р. (4.4)
Выпишем теперь Aa в явной форме (опуская индекс «1» слева). Исходим из выражения
= а Unve (4.5) Ifivj
После подстановки сюда Ta? из (3.7) первый член в правой части принимает вид
Tff = Vs8 + Го° = (1Zn 1E0 1I8 !6),3 + (lm 1Ia 16),0 + + Аналогичные выражения, соответствующие другим частицам.
(4.6)
Имеет место следующее соотношение:
^ (? 1Ia^s 1SM(S) * =\ Т«Чз)ЛГ = 0. (4.7)
as ч) as J
Й(3) 1O(S)
В этом легко убедиться, даже не производя расчетов, если преобразовать объемный интеграл в поверхностный, который должен исчезать, так как 1S обращается в нуль на поверхности, ограничивающей область 1Q(S). Следова- 170
Jl. Инфельд
тельно, то, что остается от интеграла от выражения (4.6), в силу (3.6) принимает вид
