Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Я= J [prSprS-^PrrPss +Jgrsugrsu-Jgrrugssu + + у grsrguus — у grsugrus + SVml } d3x + + $ [ ( (g°° )"1/2 - 1 ] (г.srs - grrss + SVml) d*x -
-]&оРр?+Жмг)<1*х. (44)
Здесь первый член представляет собой обычный гамильтониан, содержащий только эффективные динамические переменные И не содержащий произвольных g-jutO. Второй и третий члены состоят из произвольных линейных комбинаций ^-функций (42) и (43) с коэффициентами порядка е. Эти члены необходимы в гамильтониане, чтобы внести в уравнения движения ту степень произвола, которая связана с возможностью осуществить изменения порядка е в системе координат.
Уравнения (42) и (43) показывают, что MJml и SVms являются величинами порядка е. Это связано, конечно, с тем обстоятельством, что они содержат гравитационную постоянную. Теперь мы видим, что SVml — наибольший член в первом подынтегральном выражении в (44); все же другие — величины порядка е2. Это приводит к тому, что движение в основном определяется плотностью гамильтониана SVml, гравитационные же эффекты вносят лишь малое возмущение.
Найдем вклад в гамильтониан частицы с массой покоя т. Пусть zr — координаты частицы и пусть gzjuv обозначает значение g^v в точке xv = zr. Тогда мы имеем
Lm= -m(gZa?z"z?)1/2, (45)
где Z0 равно единице и не рассматривается в качестве динамической переменной. Импульс Pr, сопряженный zr, будет иметь вид
Pr= -mgz^{gzJfc)~'h- (46) 4. Теория гравитации в гамильтоновой форме
153
Это приводит к выражению
(47)
Вклад частицы в гамильтониан будет иметь вид
Нм — PrZr -Lm =
= т (gz^zW - gz^f) (g z"z*)-lh =
Za?
= m ^gzsogziir + ^yHgza Z^,
при этом мы воспользовались формулой (6). Учитывая (46) и (47), получаем
Hm=- gzs^Pr + у 1/2(ш2 _ ersprpsyh. (48)
Таковы вклады одной частицы в stfml и StfMr- В случае нескольких частиц, взаимодействующих только через гравитационное поле, мы должны были бы просто взять сумму вкладов каждой отдельной частицы. Формулы (49) и (50) получены без использования приближения слабого поля, однако их нельзя было бы использовать в точной теории, так как они относятся к точечной частице, которая приводит к сингулярности поля, где уравнения поля не могут быть удовлетворены точно.
В рамках приближения слабого поля рассмотрим гравитационные волны в отсутствие материи или в присутствие материи, которую будем считать медленно движу -
Подставляя в (32), находим, что
S^ml = (т* - ersPrPs)lh 63 (je - г), StfMr= -Pro3{x-Z).
(49)
(50)
Гравитационные волны 154
ff. Дирак
щейся. Тогда, согласно (50), член SVMr мал и им можно пренебречь, так что %-уравнения (43) принимают простой вид
p8rs^O. (51)
Разложим все величины, характеризующие поле, в интеграл Фурье в трехмерном пространстве (л;1, X29 х3):
grs= -Srs+ [gbrseW
р™ = ^ p^i(kx) (52)
SV ML = ^Q^Wk.
В каждом случае фурье-компонента с индексом —к является комплексно сопряженной от фурье-компоненты с индексом к.
Для простоты обсуждения ограничимся рассмотрением волн, распространяющихся в направлении оси х3, так что
kj = k2 = 0. Тогда из уравнения (51) получим 72
Pl3 Ъ 0, Pl3 ^ 0, р?3^0, (53) а из уравнения (42)
k2(gkll +gk22) + 6k ^ 0. (54)
Поскольку мы имеем дело со слабыми гравитационными полями, можно сделать допущение, что полная энергия равна гамильтониану (44). Некоторый вклад дает лишь первый член в (44), так как другие члены слабо обращаются в нуль. В таком случае энергия гравитационного поля дается первым членом в (44) без члена SVml в подынтегральном выражении. Если подставим вместо grs и prs их фурье-разложения (52), то эта энергия запишется в виде суммы некоторого числа членов вида
5 5 [fk /k' *i(kx) (к'х) d*k d%k> d%x = 8я3 \ /к Lk d*k- 4. Теория гравитации в гамильтоновой форме
155
Вклад в эту энергию волн, движущихся в направлении х3 (при пренебрежении множителем 8л3), будет
17 *js ~rs 1 rr ss ,
?(3) = Pk Р-к —Y Pk Р-к +
+ik2(gk rs g—krs gkrr g-kss + gk33g-kuu +
+ gkuu g-кЗЗ — 2gkr3 g-кгз). (55)
Последний член в этом выражении приводится К виду
\ k2(2gkl2 g-k\2 — gkll g-k22 —gk22 g-kll) =
= 4" k2 (2^k12 S-ki2 +j(gkii—gk22) {g-kll — g-k22) —
(gkll+gk22)(g-kll+g-fk22)j . Итак, формула (55) с помощью (53) и (54) принимает вид
17 _ п 12 12 . 1 /11 22\ /11 22 ч .
E(z) «» 2pk P-к + j\Pk —Рк) (Р-к — Р-к) +
+ 7 {2&kl2g-kl2 + J (gk\ 1 - gk22) (g-kll - g-k22) } —
-1к-2ЄкЄ-к. (56)
Проведенный анализ дает возможность выяснить значение различных степеней свободы гравитационного поля, представленных в виде их фурье-компонент. %-уравнения (53) и (54) показывают, что переменные, соответствующие степеням свободы «13», «23», «33», «11+22», чувствительны к изменениям системы координат, а переменные, соответствующие степеням свободы «12», «И —12» — инвариантны при изменениях последней. Выражение (56) для энергии представлено в виде суммы членов, каждый из которых связан с одной из этих шести степеней свободы, в отсутствие каких-либо перекрестных членов, связанных с двумя из них.
Степени свободы «13», «23», «33» вообще не появля* ются в (56). Степени свободы «12» «11—22» дают поло- 156
