Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
lQ(3) а(3)
= ?±(тіа) = №*')'. (4.8)
Таким образом, вследствие (4.5), (3.6) и (4.8) наши уравнения движения (4.2) приводятся к виду
цГ' + цГ + Л а\ГГ' = 0. (4.9)
i [xv j
Мы покажем теперь, что \i' = d\i/ds = 0, т. е. масса покоя есть постоянная величина. Допустим, что
(4.10)
IrJ
Тогда, умножая (4.9) на gaoF, получаем
и' Ee' F IZ,-+м- Ia' F gZ+4 WW F F = о. (4.11)
В силу (2.9) это эквивалентно
^ Virte^a'Sp) = 0' ^ = 0' (4Л2>
2 as
благодаря чему уравнение (4.9) принимает вид
I-Ta==Ia" +{ а ] = о. (4.13)
и- Ih-vJ
Итак, масса покоя должна быть постоянной.
Если бы не черточка над символом Кристоффеля, то наше уравнение (4.13) было бы уравнением геодезической линии. Для каждой частицы имеется четыре таких уравнения движения. 5. Уравнения движения в общей теории относительности 171
Перейдем в уравнении (4.13) обратно от s к используя соотношения (3.6). Тогда будем иметь
+ = О, (S0 = I)
(4.14)
Как и раньше, имеем здесь 4р уравнений, определяющих aSft и ат. Из первого уравнения в (4.14) и (3.6) следует, что
t
т
T-aK-HM^* Hb (4'15)
так как
т т
--u)i'i» = (lnf)iC. (4..6) Из (4.15) видно, что
t _
fc = dtexp[ {a°p}iai?d/.
о
Эта связь между ds и dt следует из уравнений движения. Нормировка такова, что при / = O dt и ds равны друг другу.
Подставляя значения т/т из (4.16) в последние три уравнения (4.14), получаем 3р уравнений движения для aSs.
S'+ «0s=1). (4Л7)
Это уравнение непригодно для установления связи между уравнениями движения и некоторым вариационным принципом. Чтобы установить ее, перепишем первое уравнение (4.14), используя (3.6):
>V), -("¦?),--URt'. («Л.) 172
Jl. Инфельд
или, так как d//ds = (go?iai?)_1/2,
= -Ц}І°Ір. (4.19)
Следовательно, три уравнения (4.17) могут быть также записаны в форме
їк+ (4'2°) Обозначим для краткости
(S0=I). (4.21) Тогда мы можем переписать (4.17) в форме
Ї0 - (In Х\ о Ia+ {a?} Ъ* = 0- (4.22)
«Нулевое» уравнение (а = 0) дает уже известное уравнение (4.19). Умножим (4.22) на gGr и предположим, что для ga? и их производных всегда справедливо соотношение (2.11), т. е. произведение с черточкой от двух выражений равно произведению этих выражений с черточками. Тогда в силу (2.9) мы имеем три уравнения движения в виде
(g7r Eg), о - g7r (In о - J ^Trga l? = о. (4.23)
Это наводит на мысль о существовании лагранжиана Посмотрим, эквивалентно ли (4.23) уравнению
dt ^k ag* v ;
Находим следующие выражения: djtf___
dlh 2
= TX-1Safi9KVV,
ag* 2 \ ag* I 5. Уравнения движения в общей теории относительности і 73
+ о X-1 +^a(X^1)9O.
Следовательно, уравнение Лагранжа (4.24) имеет вид
о - (in XU - ^AaI*+ + If-^sa EpSr1^ ^ = 0. (4.26)
V dlh /,о
Сравнивая (4.26) с (4.23), мы видим, что X является лагранжианом, если
^ = ^,3 = ?^ , = (4.27)
Это означает, что ds/dt является лагранжианом, если интересующая нас часть ga?, а именно g^, не зависит от 1Ss и 1S8. Позже мы увидим, что первое условие, т. е. независимость ga? от 1S8, не всегда выполняется.
Таким образом, уравнение (4.23) следует из вариационного принципа: *2 І2
б \ SB dt = б \dt [ ^ d(3) * б(3) (*8 - S8) gap ? ] 1/2 = 0,
<1 ti Q(3)
(4.28)
если рассматривать ga? лишь как функции Xa9 т. е. если мы, варьируя функцию под знаком интеграла, пренебрегаем возможной зависимостью ga? от 1S и 1S- В этом случае (4.28) эквивалентно (4.23), что можно показать и непосредственным расчетом. Назовем результат такого варьирования «геодезической линией»; тогда (4.23) будет представлять собой уравнение «геодезической линии» [15].
Для пробной частицы, т. е. если \i —> 0 и ga? не сингулярны и не зависят от 1I и 1S, уравнение (4.23) является уравнением геодезической линии и кавычки означают лишь подстановку 1Ss вместо Xs. 174
Jl. Инфельд
Можно показать (Тульчнев [14]), что уравнения движения следуют из уравнений поля при единственном допущении, что Ta? линейно зависят от б-функций, т. е. выражения (3.6) для /a? и (3.7) для Ta? являются следствием уравнений поля.
Из тождеств Бианки следует
OTijfdt,,* = О, (4.29)
1Q(S)
где G — произвольная функция, непрерывная на мировой линии Is (t). Опуская снова индекс «1» у величин ta? и 6,s мы можем написать
I" $ e(WW;?d«>* = 0. (4.30)
1Q(S)
Таким образом, мы приходим к следующему уравнению:
= (4.31)
Вычислим сначала Лар. Так как
б,о = -б,з (4.32)
то имеем
FZ = (- t™ + /в°ев) е, S. (4.33)
ds
Поскольку I0 = 1, последнее выражение можно переписать в форме
= + t«°i ?) ГІ (4.34)
ds
Так как б, ? произвольно, то
= й- (- № + ?) = 0. (4.35)
ds
Полагая здесь a = 0, находим
t°? = t°4? (4.36) 5. Уравнения движения в общей теории относительности 175
и, следовательно,
fa?efOOgag?smgag?f (4.37)
что и требовалось доказать. Очевидно, Ла = 0 дает урав* нения движения.
§ 5. Метод приближений
Решим уравнения поля и сформулируем уравнения движения в явной форме при помощи определенного метода приближений, который мы здесь изложим.
