Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Независимо от нас и несколько позже Фок [5] также вывел уравнения движения (правда, только ньютоновские) из уравнений поля. Позже Папапетру [6] упростил его метод и получил постньютоновские уравнения движения, после того как они уже были получены Петровой [7] на основе метода Фока. Результаты Петровой и Папапетру совпадают с нашими.
В чем состоит основное сходство и различие между теорией Эйнштейна (в особенности в том виде, как она сформулирована в двух более поздних работах Эйнштейна и Инфельда [3, 4]) и теорией, развиваемой в работах Фока — Папапетру?
Вообще говоря, идея обоих направлений одна и та же, однако по двум пунктам имеются расхождения, 160
Jl. Инфельд
причем лишь один из этих пунктов существен. Идеей, общей для обоих направлений, является метод приближений. Остановимся теперь на первом различии.
В работах школы Эйнштейна используются уравнения поля в пустом пространстве, которые в обычных обозначениях имеют вид1)
Эйнштейн всегда считал, что использование уравнения
где 7tt? —тензор энергии-импульса, вместо уравнения (1.1) в некотором смысле некорректно, так как мы не знаем в (1.2), что представляет собой Ta?, и смешиваем некоторый геометрический тензор в левой части уравнения с некоторым физическим тензором в правой части. Это явилось причиной, побудившей Эйнштейна к длительным поискам единой теории поля, в которой не появлялось бы такого смешивания физики и геометрии.
Известно, что не существует решений уравнения (1.1), представляющих непрерывно распределенную материю. Поэтому, принимая (1.1), мы представляем материю посредством сингулярностей. Метод, впервые использованный нами, состоял в образовании некоторых двумерных интегралов по поверхностям, окружающим эти сингулярности. Уравнения поля предписывали законы, по которым должны двигаться поверхности, окружающие сингулярности, а следовательно и сами сингулярности. Таким образом, эти законы были выведены из уравнений поля в постньютоновском приближении.
Фок и Папапетру, однако, рассматривают уравнение (1.2) и используют определенные выражения для T0?.
Это различие нам не кажется существенным по следующим соображениям. Нам не известно действительное рас-
1J Здесь и в дальнейшем греческие индексы пробегают значения от 0 до 3, латинские — от 1 до 3. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Квадратичная форма для геодезической системы координат имеет вид (скорость света с=1)
ds2 = r\apdxa тіоо = °; 1Hom = O; r\mn=*—dmri.
Ga? = Ra? ff ga? R = O.
(1.1)
Ga? = Ra? — ~2 ga? R = — 8яТсф,
(1.2) 5. Уравнения движения в общей теории относительности 161
пределение материи. Ни один из этих методов не отображает действительности правильно. Использование нашего метода, опирающегося на (1.1), подразумевает следующее: если два тела находятся на очень большом расстоянии друг от друга, так что мы можем считать поле вблизи каждого тела приближенно центрально-симметричным, то в этом случае точные сведения о распределении плотности внутри поверхности, окружающей тело, несущественны. Вне таких поверхностей уравнение (1.1) выполняется.
Это различие между двумя школами можно уяснить на простом примере классической теории гравитации. Здесь мы имеем два типа уравнений, в зависимости от того, представляем ли мы материю при помощи сингулярностей или же описываем ее непрерывным распределением вещества. В первом случае мы имеем уравнение Лапласа
Аф = 0; (1.3)
во втором случае — уравнение Пуассона
Аф = 4яд. (1.4)
В том случае, когда мы имеем дело со сферически-симметричным решением уравнения Лапласа, последнее более естественно писать в форме
Дф = 4ят6(3), (1.5)
где т — масса и б(з) — трехмерная б-функция Дирака.
Попытаемся последовательно использовать 6-функции в общей теории относительности. Здесь в первом приближении, используя уравнение (1.1) для пустого пространства, мы имеем уравнение Лапласа, которое удовлетворяется сферически-симметричным решением. Это означает, что решение уравнения (1.1) в первом приближении, справедливое всюду, соответствует такому решению уравнения (1.2), когда тензор энергии-импульса Та$ пропорционален 6-функции Дирака. Таким образом, использование уравнения (1.2) с Тар, пропорциональным 6(3), в точности соответствует нашим предыдущим рассмотрениям уравнения (1.1) с сингулярными решениями в полной аналогии с тем, что уравнение (1.5) является лишь иной формой (1.3).
Использование уравнения (1.2) с Tap, пропорциональным 0(3)-функциям, существенно упрощает весь процесс вывода
11 Заказ Кя 73 8 162
Jl. Инфельд
уравнений движения. Это упрощение было осуществлено в нашей работе [10], а также в [8, 9]; однако вся процедура может быть сделана еще более простой и прозрачной. В настоящей работе мы дадим вывод постньютоновских уравнений движения почти без каких-либо громоздких выкладок1).
Резюмируя, можно сказать, что, хотя мы являемся сторонниками идеи Эйнштейна — не использовать тензора энергии импульса,— будем тем не менее использовать тензор энергии-импульса, пропорциональный б(3)-функции, для выражения сингулярных решений.
