Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Следующее различие между школами Фока и Эйнштейна является более существенным. Фок, Петрова и Папапетру используют гармоническую систему координат, т. е. четыре соотношения
(- ?1/2rt? ^ (- g1/aga?) = (1 -6)
Фок считает выбор этой системы координат крайне важным, утверждая, что добавление его к гравитационным уравнениям (плюс некоторые условия на бесконечности) ограничивает систему координат с точностью до преобразования Лоренца. Тем самым для Фока выбор гармонического координатного условия становится некоторым фундаментальным законом природы, изменяющим сам характер эйнштейновской общей теории относительности и превращающим ее в теорию гравитационного поля, справедливую только в инерциальных системах координат. Другие же авторы, как, например, Папапетру 16], который в своем исследовании основывается на работе Фока, не заходят столь далеко, однако также рассматривают координатное условие (1.6) как существенное для вывода уравнений движения.
В нашей первой работе мы использовали координатное условие, отличное от гармонического; тем не менее мы получили те же самые уравнения движения, которые позже были получены Папапетру [6] и Петровой [7]. В нескольких
Некоторые из излагаемых в этой работе идей принадлежат Плебанскому и автору и в более полной форме описаны в книге L. Infeld, J. Plebauski. Motion and Relativity, New York-London—Paris— Narsza wa, 1960. 5. Уравнения движения в общей теории относительности 163
последующих работах [8—12] эта проблема была тщательно проанализирована.
Мы утверждаем, что уравнения движения не имеют никакого отношения к гармоническим координатным условиям; в то же время они в значительной степени связаны с методом приближений. Именно этот метод однозначно определяет уравнения движения вплоть до постньютоновского порядка. Позже мы покажем в явной форме, что нарушение гармонического координатного условия не изменяет постньютоновских уравнений движения, пока мы придерживаемся определенной процедуры приближения.
§ 2. Некоторые обозначения и замечания о математическом аппарате
Пусть мы имеем мировую линию Ih (t) и некоторое поле, например скалярное поле ф, которое зависит от координат ^ и времени x° = t, а также от l-k(t) и их производных по времени:
ф = ф (Л f, Е\ Efc), ik = -ft' (2л>
Мы предполагаем, что в окрестности линии ^h (t) поле становится сингулярным и имеет следующий вид:
Q WT2
Здесь
(2.2)
<}» = (*•_?•)(*»-Г) (2.3)
и, следовательно,
Подобным же образом
^зК^-т)!*8=?- (2-5)
Следует различать величины
Ьиф,з=| = № (2.6)
которые, вообще говоря, не равны друг другу.
и* 164
Jl. Инфельд
Если бы функция ф не была сингулярной на кривой (t), мы могли бы определить ф следующим образом:
Ф = ^ фб(3)(л:3 (2.7)
Мы можем сузить определение б-функций Дирака таким образом, чтобы (2.7) оставалось в силе даже в том случае, если ф имеет сингулярность до k-ro порядка включительно. Такие б-функции могут быть построены (см. Приложение А) как пределы обычных функций. При использовании подобных б-функций мы избавляемся от бесконечностей, не прибегая к процедуре ренормировки. Таким образом, все б-функции, используемые здесь, будут обладать тем свойством, что они переводят ф в ф, где Ф — непрерывная функция l-h и ?>к- Следовательно, мы используем (2.7) в качестве определения ф, где б —трехмерная б-функция Дирака, удовлетворяющая следующим условиям.
1) б(х) может формально рассматриваться как сферически-симметричная функция, все производные которой существуют.
2) б (х) = О при X ф 0.
3) Для всякой функции /(х), непрерывной в произвольной области й(х0), которая расположена в окрестности х0, мы имеем
d(Z)X б (х — х0) / (х) = / (х0).
?(x0)
4) Для произвольной окрестности Q (0) точки х = 0 имеем
^ d(3)X б (х) IX Гр = 0 при р= 1, 2, ..., k.
Q(O)
Четвертое условие отличает эту б-функцию от обычной. Доказательство существования дано в Приложении А (см. также [13]).
Таким образом, черточка сверху подразумевает две операции: во-первых, отбрасываются сингулярности и, во-вторых, Xh заменяются на 5. Уравнения движения в общей теории относительности 165
Возвращаясь к вопросу о различии между ф,3 = дф/д?а и ф>3, имеем из (2.7)
= + (2.8)
Отсюда следует, что ф>3 и ф>3 равны между собой в том и только в том случае, если ф ^ = 0. Последнее заведомо имеет место, если та часть функции ф, которая дает вклад в ф, не зависит от
Приведем еще одну формулу, вытекающую из определения (2.7), которая будет в дальнейшем играть важную роль:
Ф.о = ^ = ^ + 0 = 0° (S0=I). (2-9)
Пусть имеются две функции, например ф и г|г.
? = ^ + ^+^+^(*3-!8)+..- (2Л0) Тогда
ф\р = ф^. (2.11)
Взяв Произведение фі|) и отбросив в нем сингулярные выражения и выражения, обращающиеся в нуль при xs = получим в результате следующее выражение нулевого порядка по (xs — Is):
""T , -1 .—Xs-Is , -Xs-Is .
4- -Slh 1 ЇГ— (*s-Ss) (Xr-Ir) (хР-т ~г ip Q V,srp q3
Для произведения с черточкой получаем
4- і-ЗгЬ (xr-tr) 1
+ J V9BTP V-q9 J ' 166
