Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
*) Функционалом называется величина, зависящая от функции 8(г) (см. приложение 20А). Напротив, функция ¦— это величина, зависящая от числовой переменной.
ОО
ОО
А (р) = ^ Ве(х, p)dx—4 ^ Вп(х, р) dx. (20.14)
— оо
— оо
Ш (и (г)} + V* (U (г)} + k? (є, (г) и (г)) = 0. (20.15)
(e1(r)C/(r)) = g(r)(C/(r)>,
(20.16)
(є, (г) U (г)} = J dV' (є, (г) є, (г')> . (20.17)
<в1 (г) U (r)> = J J dp'А (р - р') (•
(20.18)
В приложении 20В показано, что
-ІЇ-в (р_р') [/*(*, р'). (20.196)
(20.19а)
Подставляя (20.19а) в (20.18), получаем
<fil(T)U(r)) = ^-A(0){U(x, р)>.
(20.20)
164
Глава 20
Таким образом, уравнение (20.15) принимает вид
[2ik + V? + А (0)] (U (х, р)> = 0. (20.21)
Вместе с граничным условием при х = 0
(U(0, р)> = С/0(р) (20.22)
уравнение (20.21) полностью определяет когерентное поле (U(x, р)>.
Решение уравнения (20.21) легко найти, положив
(U (х, р)> = f (л:, р) ехр (— аах), (20.23)
где
оо
а0 == k2A (0)/8 = 2n2k2 J Ф„ (х) х rfx. (20.24)
О
Подставляя (20.23) в (20.21), получаем
[2ikd/dx + V?] f (х, р) = 0. (20.25)
Уравнение (20.25) — это параболическое уравнение, описывающее распространение поля в свободном пространстве (при Єї = 0), так что функцию f(x, р) можно рассматривать как поле в свободном пространстве без флуктуаций. Обозначая поле в свободном пространстве через U0(x, р), т. е. полагая f(x, р) = = U0(x, р), получаем окончательное решение
(U(x, p)) = U0(x, р) ехр ( а0.к). (20.26)
Таким образом, когерентная интенсивность определяется выражением
| (U (х, р)> |2 = | U0 (х, р) |2 ехр (— 2а0х). (20.27)
Отметим, что параметр 2ао, определяемый (20.24), по величине равен полному сечению рассеяния единичного объема турбулентной среды, даваемому формулой (16.56).
В общем случае параметр ао связан с корреляционной функцией флуктуаций показателя преломления Вп(г) соотношением (20.14):
оо
а0 = k2 ^ Вп (х) dx — k2o2nLn, (20.28)
о
где = —дисперсия показателя преломления, a L„ — ин-
тегральный масштаб случайной среды:
ОО
Ln=\ Bn(x)dxlBn(0). (20.29)
О
Сильные флуктуации
165
Для колмогоровского спектра
Фп (х) = 0.033С- (х2 + і/Lq) 1/еехр (- х2^), (20.30)
где Хт = 5,92//<>, имеем
а0 = 0,033л2C^2Lo4[l, у; (x„Lo)-2]. (20.31)
Здесь -ф(а, 6; г)—вырожденная гипергеометрическая функция второго рода, независимая от функции Куммера. Поскольку %mL, о = 5, 92L0/l0, (%mLa)~2 < 1, можно воспользоваться формулой
•ф (a, b; г) -> г ^ 6у при Rebel, |z |< 1.
В результате получаем
ao = 0,391C^2Lo/s. (20.32)
20.4. Параболическое уравнение для функции взаимной когерентности
Рассмотрим теперь второй момент
Г (х, рь р2) = (U (х, Pl) U* (х, р2)), (20.33)
который называют также функцией взаимной когерентности [167,337].'
При выводе уравнения для Г (лг, рь р2) мы будем исходить из параболического уравнения (20.7)
2ik U (х, Pl) + V2U (х, Pl) + k\ {х, Pl) U (x, Pl) = 0. (20.34)
Умножим его на U*(x, р2) и запишем в следующем виде:
2ik ^U’2+ V2^[7* + k2&{ (х, Pl) UXU\ = 0, (20.35)
где Ux = U(x, р,), U2 = U (х, р2), а V2 — оператор Лапласа, действующий по координате рь Возьмем далее комплексно-со-пряженное с (20.34) уравнение, заменим в нем pi на р2 и умножим на U\.
dU*
- 2ik V2U*2Ux + k2e{ (xv p2) Ut2Ul = 0. (20.36)
Вычитая (20.36) из (20.35) и усредняя, получаем
~діс ^ (¦*¦’ Р*’ ^2) ^ (*’
+ k2 {[в! (лг, рі) — єі (х, р2)] U (х, рО U* (х, р2)) = 0, (20.37)
166
Глава 20
Можно показать, что последнее слагаемое в (20.37) пропорционально Г(л:, рь р2). Для доказательства этого утверждения воспользуемся формулой (20.18) и запишем
<6, (*. р,) г (*, р„ рг)> = 5 dV[A (р, - р;) ¦ (20.38)
где Z(x, pi, р2) = U(x, pi) U*(x, р2). Используя (20.19а) и (20.196), получаем
бги^РьРг! _ Ш (*¦ Pi) у, ^ ^ + ц ^ рЛ ри* (х, р2) _
6ё1 (х, р') беї (х, р') 1 v ’ ‘ ' ббі (х, р')
ik
4
=-Т- [в (Pi - ро U (X, р') и* (х, р2) — а (р2 — р') и (х, Pi) и* (Х, Р%
(20.39)
Усредняя (20.39) и подставляя результат в (20.38), находим
<єі (х, Pi) Z (х, рь р2)> = [А (0) — A (pi — р2)] Г (х, рь р2). (20.40)
Поменяв в (20.38) pi и р2 местами и осуществив операцию комплексного сопряжения, получим
<Є! (х, р2)Z*(x, P2, Pi)) = (б! (х, p2)Z(x, Рь р2)) =
= - [Л (0) - Л (Pi - р2)] Г (х, Рь р2). (20.41)
Подставив (20.40) и (20.41) в (20.37), получим дифференциала ное уравнение для функции когерентности
{ш ж + (П - П) + 4іIа <0) - л (р. - с*)]}г (*¦ О,, ко = 0.
(20.42)
Аналогично можно найти дифференциальное уравнение для (U(x, pi)U(x, р2)>:
{2tk -к+(П + Ч) - -х t-4 <°>+л (р. - р Л} х
X ф (X, Pi) и (», р2)> = 0. (20.43)
Уравнения (20.42) и (20.43) являются основными дифференциальными уравнениями для вторых моментов поля.
Между функцией взаимной когерентности Г в сплошной случайной среде и лучевой интенсивностью I в случайном облаке рассеивателей имеется тесная связь. Показано [183], что уравнение переноса излучения в малоугловом приближении (13.5) эквивалентно параболическому уравнению (20.42), причем имеет
Сильные флуктуации
167
место следующее соответствие:
г (х, рс, Pd) = jj / (х, Рс, s) ехр (Iks ¦ pj ds,
2nk4On (я) = p„ I / (s) I2 = p (s), n = ks.
