Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Bx(ku k2, г, т), Bs(kи k2, г, х) и BxS(kи k2, г, х).
Фурье-образы этих корреляционных функций представляют собой частотные спектры:
ОО
Wx(ku k2, г, и) = 2 ^ Bx(ku k2, г, х)е~Шхйх, (19.47а)
— 00 00
Ws{kb k2, г, со) = 2 jj Bs(kь k2, г, x)e~iaxdx, (19.476)
— 00 00
WxS(kь k2, г, со) = 2 ^ BxS(k[, k2, г, x)e~imdx. (19.47в)
— 00
Обратное преобразование имеет вид
00
Bx(kь k2> г, т) = -^- ^ Wx(k 1, k2, г, a>)eimda>. (19.48а) — 00
Аналогичные выражения можно записать для Bs и BxS. Заметим, что если в (19.48а) положить т = 0, то мы получим
Bx(kь k2, г, 0) = -^-^ Wx(ku k2, г, со)ofco, (19.486)
откуда следует, что интеграл от спектра по всем частотам дает корреляционную функцию на двух частотах k\ и k2 в один момент времени.
Общие выражения для корреляционных функций В и спектров W получены в работе [181]. Здесь мы приведем следующие
Временная корреляция и частотные спектры флуктуаций волн 151
выражения:
оо L
Bx(kі, къ г, т) == 2n2kxk2 ^ xdx ^ dr\gx (х, л)-^о(«К-г) Фя(и)> (19.49а)
о
L
Bs(ku ^2>г,т) — 2n2kik2 jjxdx jjdr]gs(x, л)^о(и^т)ФяМ» (19.496)
о о
оо L
Bxs(kь k2,r, т) = 2л2^!^2 5 5 diigxS(x, ті)Л)(иУт)ФпМ> (19.49в)
о о
где (К. л) — Re [А,А* — AjAJ, gs (к, ті) == Re [AjA* + AjAJ, Sis (x> Л) = — Im [AtA* + hlA2],
A| = exp[— / —~/-2]. A2 = exp[-/^(Z2~T1) x2].
Здесь y = 1 отвечает случаю плоской волны, а у = r\/L — случаю сферической волны, г соответствует точке х = L, у = г = = 0, а V — величина поперечной скорости ветра.
Частотные спектры могут быть найдены с использованием формулы (19.47):
оо L
Wx(k\, k2, г, d)) = 8n2kik2 ^ dr\gx(x,, л) Ф„ (х) [{kVf — со2]-'^.
w/v 0 (19.50)
Если скорость ветра V и спектр Фп являются функциями положения т}, то формула (19.50) остается справедливой, если заменить в ней V на V(r\), а Ф„(х) на Ф„(х, л). Спектры Ws и tt?x5
получаются из (19.50), если под знаком интеграла подставить gs
и g%s¦ Общие формулы для волновых пучков получены Исимару [181].
В общем случае взаимная корреляционная функция B%(k 1, k2,
г, т) не обязательно является четной функцией, поэтому взаимный спектр Wx(ku &2, г, со) может быть комплексным, так что
Wx(ku k2, г, <i>) — C%{ku k2, г, to) — /Qx(yfe!, k2, r, (O), (19.51)
где Cx и Qx — вещественная и мнимая части спектра соответственно. Тогда можно ввести степень когерентности, определяемую как
соМАь k2, со) = -\}kl;b~'b m) У • (19.52)
* * ‘ (*1, kuШ) W%(k2, kt, to) v /
152
Глава 19
Рассмотрим случай плоской волны. Тогда имеем St (К, л) = C0s[i~’l)4‘ (і - ^)] -
-соз[і?^1(і + і)]. (19.53)
Подставляя эту формулу в (19.50), находим взаимный спектр Wx(kь k2, со). Асимптотический вид для cohx в (19.52) может быть найден в случае, когда спектральная плотность Ф„(х) описывается колмогоровским спектром:
Ф„(и) = 0,033С2и-‘Ч (19.54)
Подставляя (19.53), (19.54) и (19.50) в формулу (19.52), получаем
СОМ*,, ** 0) = (^)(n-1,/2[(I + |^)(-I)/2.-(l=^f-1)/2]2,
(19.55)
где п — 11/3.
Степень когерентности фазы coh$(*i, k2, (о) может быть вычислена на основе формул (19.50) и (19.52) путем замены g% на
, 1,0
X
и
? 0,6 I,,
S 0,2
0,0
° ° °л° °0|о • замирания і офаза
• • • • • jo ц
1 о Чр~ *7. О • і ;
10‘
!= 10 а
о
X
О 1
• замирания
офаза • •
* • • У* г,
I _• *о _5<г\ро ° ?.0.__________
—о“о— 5 ь оЯ'сГ'оо--------------
10'
10
10 Гц
10 2
10‘
10 Гц
Рис. 19.3. Теоретические и экспериментальные кривые для степени когерентности уровня (замираний) coh (ftj, k2, со) и фазы соЬ5(й(, й2, со). Здесь k^ =
= 2я/і/с, k2 = 2nf2lc и її = 34,52 ГГц, /2 = 9,6ГГц.
Рис. 19.4. Теоретические и экспериментальные кривые для отношения спектров уровня (замираний) Wx(ku k2, a)/Wx(k2, k2, ш) и отношения спектров фазы ws (ftj, fej, to)jws(k2, k2, со), где ws(k, k, со) = Ws (k, k, со)/(kL)2.
gs. В пределе <о-»-0 находим cohs(&,, k2, 0) -*¦ 1. На рис. 19.3 показан общий вид степени когерентности. Сравнение этих результатов с экспериментальными данными, полученными для частот 9,6 и 34,52 ГГц и при длине трассы 64,25 км, указывает на прекрасное согласие [181, 189, 190]. На рис. 19.4 показаны отношения спектров уровня Wy,(k, k, со) и спектров фазы Ws{k,
Временная корреляция и частотные спектры флуктуаций волн 153
ai)/(k2L2) на частотах 34,52 и 9,6 ГГц и соответствующие экспериментальные данные. См. также другие исследования частотных спектров [72, 246, 247].
19.6. Пересекающиеся пучки
Рассмотрим два излучателя, расположенные в точках рп и р« в плоскости х — 0 (рис. 19.5). Они работают на двух различных частотах (k\ и k2). В плоскости х = L имеются два приемника в точках pi и рг, которые принимают сигналы на частотах k\ и k2 соответственно. Поскольку они реагируют только на частоты k\ и k2, корреляция между флуктуациями в точках pi и р2 определяется только пересекающимися пучками b и с на рис. 19.5. Но
Точка пересечения
Рис. 19,5. Два пересекающихся волновых пучка.
если k\ — k2, то приемник в точке pi принимает волны, приходящие по путям b и d. Аналогично волна в точке р2 состоит из волн, пришедших вдоль а и с. Поэтому корреляция полей в точках pi и р2 содержит корреляции между а и Ь, между а и d, между Ь и с, а также между bud. Однако если расстояние |pi — р2] намного превышает радиус корреляции (приближенно равный то корреляции между различными путями, за исключением пересекающихся путей b и с, пренебрежимо мала. Пересекающиеся пути приводят к довольно сильной корреляции, поскольку они проходят через общую область случайной среды в точке пересечения. Эта корреляция между пересекающимися пучками использовалась для исследования параметров турбулентности в точке пересечения [123, 370]. В этом разделе мы рассмотрим корреляцию между путями b и с. Корреляции между другими путями могут быть проанализированы аналогичным образом.
