Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Для анализа сильных флуктуаций предложено несколько различных подходов, в том числе метод фейнмановских диаграмм [15, 95, 142, 337], метод интегрального уравнения [56—58], включая уравнения Дайсона и Бете — Солпитера, использование обобщенного принципа Гюйгенса — Френеля [10, 75, 120, 211, 243, 397—400], метод параболического уравнения [38, 104, 148, 172, 173, 313, 337, 372].
Как было показано [328, 397], в отношении вторых моментов все эти методы при некоторых предположениях эквивалентны друг другу. Поэтому мы будем рассматривать здесь второй момент на основе метода параболического уравнения.
Для моментов четвертого порядка к простым результатам приводит метод Гюйгенса — Френеля [10, 74]. Однако эквивалентность этого метода с другими не установлена. Отметим, что методом параболического уравнения были получены уравнения для моментов любого порядка, и в настоящее время этот метод считается более обоснованным, чем все остальные. Однако точных решений уравнений для моментов, за исключением моментов
Сильные флуктуации
161
второго порядка, не получено, и проблема их решения представляет собой наиболее важную и до сих пор нерешенную задачу теории сильных флуктуаций.
20.1. Параболическое уравнение
Рассмотрим волну и (г), распространяющуюся ,в случайной среде с относительной диэлектрической проницаемостью
е,(г) = <е,)[1 + е,(г)]. (20.2)
Вводя волновое число, отвечающее среднему значению диэлектрической проницаемости:
*2 = ®2Ров0(в,) = ?§(в,), (20.3)
запишем волновое уравнение для скалярного поля и (г):
[V2 + &2 (1+Є, (!•))]« (г) = 0. (20.4)
При выводе параболического уравнения мы исходим из того
факта, что при распространении волны вдоль оси х ее фаза по
существу изменяется как ikx. Поэтому если представить поле в виде
u(r) = U(r)elkx, (20.5)
то амплитуда U(г) должна быть медленно меняющейся функцией координаты х. Подставив (20.5) в (20.4), найдем точное уравнение для U (г):
Ш + V2C7 (г) + k4x (г) U(г) = 0. (20.6а)
Поскольку U (г) — медленно изменяющаяся функция координаты х и характерным масштабом ее изменения является масштаб неоднородности среды I, оказывается, что при I X выполняется неравенство
| k dU/dx | > | дЮ/дх21. (20.66)
Поэтому оператор V2 в (20.6) можно заменить на оператор Лапласа, действующий по поперечным координатам, д2/дг/2+
+ д2/дz2. В результате получаем следующее параболическое уравнение для U(г):
2Ш ЁШ- + V2у (г) _ k41 (г) и (г) = 0> (20 7)
Уравнение (20.7) является исходным для дальнейшего анализа. В последующих разделах мы будем исследовать среднее поле и его высшие моменты.
162
Глава 20
20.2. Модель флуктуаций показателя преломления
Анализ сильных флуктуаций основан на следующих трех важных положениях:
а) справедливость выведенного выше параболического уравнения;
б) предположение о гауссовости случайного поля флуктуаций єі, в силу чего его свойства полностью описываются корреляционной функцией
Вв(г-г') = (еі(г)е1(г/)); (20.8)
в) предположение о дельта-коррелированности поля єі (г) вдоль направления распространения волны (вдоль оси х):
(єі (х, р) Є] (х', р')> = 6 (х — х') А (р — р'). (20.9)
Предположение (20.9) основано на том, что хотя корреляция диэлектрической проницаемости в поперечном направлении р существенно влияет на поперечную корреляцию поля, ее продольная корреляция оказывает лишь малое влияние на флуктуационные характеристики поля. Фактически это предположение уже использовалось при анализе метода Рытова, когда мы заменяли Нг
в точках х' и х" на Нг в точке (х' + х").
Связь между функцией Л(р-—р') и спектром флуктуаций показателя преломления Фя(х) можно найти следующим образом. Запишем корреляционную функцию в спектральной форме
Ве (г — г') = 4Вп (г — г') = ^ J фе (К) ехр [/К • (г — г')] dK, (20.10)
где ФЕ(К) = 4Ф„(К) я dK = dKi dK2 dKz — dK\ dx. Производя обратное преобразование Фурье с учетом (20.9), получаем
4 (р — р') ехр [їй • (р — р')] d (р — р'). (20.11)
Выражение (20.11) представляет собой двумерный фурье-образ. Взяв обратное преобразование, найдем
А (р) — 2я J Фе (х) dx. (20.12)
В случае изотропной турбулентности
оо
А (р) = (2я)2 J /0 (хр) Фе (х) к dx. (20.13)
о
Сильные флуктуации
163
Можно установить также связь между А (р) и корреляционной функцией Ве(х, р). Она имеет вид
20.3. Уравнение для среднего поля и его общее решение
Усредним параболическое уравнение (20.7) по статистическому ансамблю:
Если последнее слагаемое в этом уравнении удастся выразить через среднее поле, т. е. представить его в виде
то мы получим дифференциальное уравнение для (U(г)).
Найдем явный вид функции ?(г) в (20.16). Прежде всего заметим, что поле U(г) представляет собой функционал ') от єі(г), и воспользуемся следующей формулой, справедливой для гауссова случайного поля єі(г) и функционала U (г) от него (см. приложение 20Б):
где величина 8U/8ei называется функциональной или вариационной, производной (см. приложение 20А). Формулу (20.17) называют иногда формулой Фурутцу — Новикова. Используя предположение (20.9) о дельта-коррелированности, из (20.17) находим
