Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
00
j |-1 _ ^^!Ij хВ+1 ^ = _ ^ (19 28)
справедливую при —2 > п > —6, получаем фЧ7/з / t/f Л / и] \
Г-<0)=''0б7^-“РІ-4)Ч4Ь
= 4,913-Іехр(-і.1/,(і4). (19.29)
a>f \ 4сг~ / \ 4(ТЦ /
где щ = л/2(У0-\JklL. Заметим, что при ст„ 0 (19.29) перехо-дит в выражение для Wx(со) (19.17). Чтобы найти асимптотику (19.25) при to—*-оо, заметим, что при со оо основной вклад в Wx в (19.26) вносит область вблизи т = 0, так что /о(х?/*т) приближенно можно заменить на ехр[—(х?/<т/2)2]. В результате получим
1 (х, со) ~ / -о ^ 2vTexP Г-27-г--2ТІ • (19.30)
х([/2 + 2ст2)/2 *2(U] + 2а2) J
Заметим, что выражение (19.30) имеет максимум в области, где к2 (U2 -+- 2ст2) 2со2, поэтому при ш ->¦ оо необходимо рассматри-
вать только большие значения х. Следовательно, можно приближенно положить fx (х) « 1. С учетом сказанного имеем
W? (со) = 6,723 (02x/co,f) (co/(o<f)-'A, (19.31)
ГДЄ
(?>tf = (U2t + 2aiy,3(k/L)',\ (19.32)
Поскольку при выводе (19.30) использовались приближения, формула (19.31) при av -*¦ 0 не переходит в точности в (19.18).
Следует ожидать, что если вместо (19.30) воспользоваться точным выражением, то в (19.31) войдет коэффициент 7,13 вместо
6,723.
19.4. Частотные спектры сферической волны
Общая формула (19.15) для частотного спектра флуктуаций уровня применима и для случая сферической волны, если воспользоваться следующей фильтрующей функцией fx (х) для сфе-
148
Глава 19
рической волны:
L
f% М — Т S dr] Iі ~ C0S ( (tr ~k Т1) *2)] ‘ (19.33)
о
Нетрудно найти асимптотические значения Wx (со) при со О и ш->оо. Рассмотрим сначала случай со 0. В этом случае имеем
оо
^x(°) = JTTLS ШФп(х)йк. (19.34)
1 о
Проинтегрируем сначала (19.34) по к. Прежде чем интегрировать по л, заметим, что различие между случаями сферической и плоской волн состоит в том, что в случае сферической волны под интегралом стоит (i]/L) (L — г|), а в случае плоской волны— L — г). Следовательно, это различие полностью определяется значениями следующих двух интегралов:
[т (L ~ Ч>Г» dl\= L(n~m ~ Для сфери-
о ческой волны,
(19.35а)
L
Iпл = ^ {L — т])("_ 1)12 di\ = (- Для плоской волны,
0 " (19.356)
где п = 11/3 для колмогоровского спектра.
Таким образом, спектр сферической волны Wx Сф(0) получается путем умножения спектра плоской волны Wx пл(0) на отношение значений (19.35а) и (19.356):
сф (0) = Гх пл (0) {^±1 , (19.36)
откуда для колмогоровского спектра с п — п/з находим
Wx сф (0) = 0,622 (ст* пл/со,) = 1,540 (ст* сф/ш,), (19.37)
где <т2пл и <т? сф — дисперсии для плоской и сферической волн соответственно, равные
Ох пл = 0,307cl k4'L"h, сф = 0, \2ACl^'L"!\ (19.38)
При (о->оо можно приближенно положить fx = 1, так как (у/2 + с^/и2)'11-* оо, и, следовательно, при со-> оо спектр W (со)
Временная корреляция и частотные спектры флуктуаций волн 149
становится тождественным спектру плоской волны:
rr.*W = rI"„w = 7,i34f(^-) ,“17’65^f(^)
(19.39)
Спектр фазы U?s(co) для сферической волны можно получить, если учесть, что при к 0 fs (х) -*¦ 2, а при х оо fs (х) 1. От-
сюда находим
WS сф (со) —2Г~сф(со) =
— 35,31 (а* сф/сог) (со/со*)-8/з при со-»-О, (19 40)
Ws сф (со) -> WГсф (со) =
= 17,65 (а* Сф/cof) (co/oof)~5/з при со->оо. (19.41)
Эти спектры для сферических волн показаны на рис. 19.2.
19.5. Двухчастотная корреляционная функция
До сих пор мы рассматривали временную корреляцию и частотные спектры монохроматической волны, распространяющейся в движущейся случайной среде. В этом разделе мы рассмотрим взаимную корреляцию и взаимные спектры двух волн на двух различных частотах, которые представляют интерес для некоторых приложений. Так, например, в 1974 г. в США был запущен космический аппарат «Маринер-10» в сторону Венеры. При подлете к Венере с него через атмосферу Венеры в сторону Земли посылались сигналы в X- и S-диапазонах [387]. Флуктуацион-ные характеристики таких сигналов содержат важную информацию о мелкомасштабной структуре турбулентности атмосферы Венеры, которая расширяет наши знания о циркуляции и динамике атмосферы [157, 165].
Рассмотрим две волны на двух частотах f 1 и f2 (k\ = 2я/і/с и 62 = 2яІг/с). Запишем поле на частоте f 1 в точке г і в момент времени 11 и поле на частоте f2 в точке г2 в момент времени U [см. (19.3)]:
U(kb г,, tl) = U0(ku rOexphM^b Гь /і)], (19.42)
U (k2, r2, (2) = U0 (k2, r2) exp [i|)2 (k2, r2, t2)]. (19.43)
Флуктуации уровня % и фазы Si равны
гь Ь) = х(кі, rb /j) + /Sj (&!, rb t{), (19.44)
¦фі(й2, r2, t2) = %(k2, r2, (2) + iSi(k2, r2) t2). (19.45)
150
Глава 19
Рассмотрим теперь корреляционную функцию амплитуды В%, корреляционную функцию фазы Bs и взаимную корреляционную функцию Bxs амплитудных и фазовых флуктуаций. Они определяются как
Bx(ku гь (й k2, г2, 12) = {%{кь r> h)%(k2, г2> 4)). (19.46а)
Bs(k і, г і, t\, k2, г 2, {2) — (Si(ki, г і, ti)Si(k2, г2, 4)), (19.466)
BxS(kи Гь ій k2, r2, i2) = (%(kb г,, ti)S!(k2, r2) t2)). (19.46в)
В заданной точке г = Гі = г2 эти выражения определяют временные корреляционные функции. Во многих прикладных задачах флуктуационные характеристики можно считать стационарными, поэтому корреляционные функции зависят только от разности времен т = ti —12. В этих предположениях в формулы (19.46а) — (19.46в) входят соответственно
