Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что ширина частотного спектра характеризуется величиной
СОо
= Vlp0=V[lAQClk2xf\
(20.114)
Если структурная характеристика Сп меняется вдоль трассы распространения, то
С0с = У
В качестве примера рассмотрим частотный спектр флуктуаций СВЧ-сигнала космического корабля, распространяющегося через околосолнечную турбулентную плазму. Внешний масштаб турбулентности околосолнечной плазмы оценивается по меньшей
184
Глава 20
мере в 106 км [389] ‘). Поскольку зона Френеля (АХ)1/2 на расстоянии 1 а. е.2) составляет на частоте 2 ГГц примерно 150 км, можно использовать формулу (20.115). Если предположить, что
структурная характеристика зависит только от расстояния до Солнца, то
Cl (г) = Cl[(rl + х2)'ь1 (20.116)
где г0 — прицельное расстояние траектории волны (кратчайшее расстояние между траекторией и Солнцем), равное г0= = (1 а. е.) sine. Угол є называют углом элонгации источника (рис. 20.6). Под V нужно понимать поперечную компоненту Vt солнечного ветра. Ча-Рис. 20.6. Взаимное положение Солн- стотный спектр (20.113) И ца, Земли и космического корабля и /пп іи?ч
определение угла элонгации є. (20.115) СВЧ-излучения, распространяющегося через околосолнечную турбулентную плазму, подтвержден экспериментально [388,389].
20.13. Моменты четвертого порядка
Уравнение параболического типа для моментов более высокого порядка можно вывести различными способами [57, 58, 148, 167, 313, 337]. Оно имеет следующий вид:
[ш ? + (А, +... + д„ — д; —... — ду + F„ J г„ш=.о,
(20.117)
где
=(и 0> Pi) • • •и 0’ р«)и* O’ Pi) • • • и* 0> р»)>.
a AF ...,Ап, .....А'т — поперечные лапласианы, действую-
щие по координатам рр ..рга, р^ ..., р'т соответственно. Функция Fnm определяется выражением
пп п т п т
Fnm-Ъ Z^(P,-Py)-2Z Z^Pi-PD+Z z^-pJ).
i~l1 i=l k=l fe=lг=і
(20.118)
*) См. также обзор работ советских авторов [239].
2) Астрономическая единица (а. е.)—среднее расстояние между Землеі} у\ ?олццем (149 598 III км).
Сильные флуктуации
185
Однако общее решение этого уравнения до сих пор не найдено даже в случае четвертых моментов; исключением являются некоторые^ приближенные решения [116, 337].
Рассмотрим момент четвертого порядка
Проведем следующую замену независимых переменных:
Рассмотрим теперь распространение в случайной среде плоской волны. Поле такой волны не должно зависеть от коорди-
наты центра тяжести R, так что V« = 0. Поскольку оператор Vp при этом выпадает из уравнения, р становится параметром и его можно положить равным нулю. В этом случае концы векторов Рь Р2, р( и р2 оказываются расположенными в вершинах параллелограмма (рис. 20.7), а уравнение (20.121) принимает вид
где Q = D'(r,) + D'(r2) — ~ D'(r, + г2) — y O'(г, —г2). Через D'(г)
здесь обозначена производная структурной функции комплексной
Г4 = (U (X, Pl) U (х, р2) U' (х, pf) ?/* (х, р')). (20.119)
R = -4 (рг + Р2+ р( + Рг), Р = Pi + Рг — Pi — Р2>
(20.120)
Тогда уравнение (20.117) примет вид
[ir + T(v*-vp + V'i'V'2) + (3]r4==0> (20Л21)
где
Q = ~-[Н 0‘ + т) + н (г2 - т) + н (г2 + І) +
+ Н (г2 —— Н (Г[ г2) — Н (rL — г2)],
Я(р) = -1[Л(0)-Л(р)].
Рис. 20.7. Расположение векторов pj, р2, pj и р2.
(20.122)
186
Глава 20
фазы (20.49) по координате х:
оо
D' (г ) — -^-D(x, г) = 8я2&2 ^ [1 — Jo (хг)] Фп (к) xdx = 2,92Clk2r5/3.
о
(20.123)
Последнее выражение в (20.123) получено для турбулентной среды, когда справедливо приближение (20.786).
В случае падения плоской волны граничное условие для Г4 при л: = 0 имеет вид Г4 = 1. Уравнение (20.122) и это граничное условие составляют математическую формулировку рассматриваемой задачи.
Исследуем некоторые общие свойства момента четвертого порядка Г4(л:, гь г2), удовлетворяющего уравнению (20.122). Прежде всего, поскольку D'(г) —четная функция |г|, функция Q в уравнении (20.122) не изменяется при перестановке местами Гі и г2. Поэтому
Г4 (х, гь г2) = Г4(лг, r2, rt). .(20.124)
Второй момент интенсивности
(1{х, pi)/(х, p2)) = (?/(x, РОС/*(х, Pi)U(x, р2) ?/*(*> р2)). (20.125)
Эта величина совпадает с моментом четвертого порядка Г4 при pl = pl и р2 = р2, так что
г4 (л:, гь 0) = (/(*, р2 + гО / (х, р2)). (20.126)
Таким образом, корреляционная функция интенсивности Б/равна = (I (х, Pl) I (х, р2)) - (I)2 = Г4 (х, г„ 0) - Г2 (х, О)2, (20.127)
где Г2(лг, р) — момент второго порядка (20.466).
Заметим также, что при |г2|->-оо точки pi и рг удаляются от точек pi и рг на бесконечное расстояние и корреляция полей в этих двух группах точек исчезает. Поэтому в пределе |г2| -> оо имеем
Г4 = <?/(*, Qi)U*(x, pi))(U(x, q2)U*(x, р{)) =
= Г2 (х, г і) Г2 (х, г О* = | Г2 (х, Гі) |2. (20.128)
Можно показать также [337], что корреляционная функция интенсивности В/ удовлетворяет условию
оо
J Bj(x, rOdrj^O, (20.129)
— ОО
являющемуся следствием закона сохранения энергии плоской волны.
Сильные флуктуации
187
20.14. Приближение тонкого экрана
Уравнение (20.122) для момента четвертого порядка подробно исследовано в двух предельных случаях. Один из них называется приближением тонкого (или фазового) экрана. В этом случае предполагается, что случайная среда сосредоточена в пределах «тонкого экрана» и действие этого тонкого экрана сводится к модуляции фазы прошедшей через него волны. Другой предельный случай называют случаем протяженной среды. Он отвечает предположению, что однородная среда заполняет все пространство.
