Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Bx(ru h) r2, t2) = Bx(L, yd — U2t, zd — l73t) =
oo
= 2n2k2L ^ x dx/0 (xp) fx (x) Ф„ (x), (19.10)
о
где
fx (x) = 1 — sin (>i2L/k)/(x2L/k),
P=[(yd-U2x)2 + (zd~Uax)2]\
Следовательно, временная корреляционная функция Вх (L, т) в одной точке (yd = 0 и Zd = 0) равна
оо
Вх (L, т) = 2n2k2L ^ игіх/0(хі/<т)/х(х)Ф„(х), (19.11)
о
где (и2 + и%)',г—среднее значение поперечной скорости ветра. Заметим здесь, что корреляционная функция Вх (L, т) в заданной точке (L, 0, 0) совпадает с пространственной корреляционной функцией в двух точках с разнесением р в один момент времени В% (L, р), если заменить 1Лт на р. Это соответствие между временем И пространством (UfT ~ р) является, конечно, прямым след-ЄТРИЄМ гипотезы о замороженной турбулентности.
Плоская
волна
Ф/г.О
Рис. 19.1. Параллельный сдвиг флуктуаций волны в пространстве и времени.
144
Глава 19
Частотный спектр Wx (со) является фурье-образом корреляционной функции (19.11):
ОО 00
W%( <о) = 2 ^ BX(L, x)e~im dr = 4^ BX(L, т) cos (сот) dr. (19.12)
— oo О
Заметим, что интеграл от частотного спектра Wx (со) пропорционален дисперсии:
00
< = V°> = -ir S (19-13)
— oo
Формула (19.12) допускает дальнейшее упрощение, если воспользоваться следующим значением определенного интеграла:
_ ,л2і‘/2
С / \JIT1 w f [(nUt)2 — <°2] при xUt>(?>,
\ cos (сот) /0 (х?/<т) dx = < (19.14)
J (.0 при х?У< < со.
Тогда получим
оо
Wx (со) = 8n2k2L J х d%fx (х) Ф„ (х) \{%Ut)2 - со2]7’ =
u>IUt 00
8я 42L
k-^\ їхМФпМан', X = ^x'2 + -^У‘. (19.15)
и.
о
Аналогично находим частотный спектр фазы путем замены /х(х) в (19.15) на fs(x).
Из формулы (19.15) следует, что частотный спектр Wx (со) связан с той частью спектра показателя преломления, которая лежит правее х = со/Ut- Это означает, что спектр Wx (со) содержит информацию о свойствах спектра показателя преломления в области значений х, больших, чем со/U*. Таким образом, оказывается возможным определение формы спектра Фп(х) по временным спектрам.
Вычислим спектр амплитуды U7x(<o) с использованием колмо-
горовского спектра Ф„ (х) = 0,033С^х_"/з. Выражение (19.15) может быть записано через конфлюентную гипергеометрическую функцию if>(a, с; г) [181]. В результате находим
Г, (») = (о.оззсэ kV' - В], (19.16)
(4)
Г
А= —
Г
(ТГу В = '¦" {(т)2“1> ( -'‘ ^) ¦* [т ¦ т 11 ~'' (Щ-
где соf = Ut(k/L)'l\
Временная корреляция и частотные спектры флуктуаций волн 145
Частота шt имеет важный смысл. При ш < u>t спектр Wx (ш) остается постоянным, а при ш > ш/ №х(ш) убывает какш-\ Эти два асимптотических значения даются выражениями
ИЗД-
clk ¦0,85 "
ut
cW^
: 2,765
— 81з
при ,2
©¦
о,
, *“я/з
Ctk ,3L11 /со \~'3 сг* / со \ 13
ГГМ->2,19-^_(-) =7,13^(-) при
(19.17)
со-> оо,
(19.18)
где о\ = 0,307C2nk'leL"u— дисперсия флуктуаций уровня. Заметим, что эти два асимптотических выражения совпадают при ш = = 1,43шг. Форма спектра (со) показана на рис. 19.2.
Рис. 19.2. Частотные спектры флуктуаций уровня W (со) и фазы ^-(со) пло-
X «
ской и сферической волн, нормированные на Wx (0).
Спектр фазы R7s((d) дается тем же выражением (19.16) с той лишь разницей, что знак минус перед вторым слагаемым следует заменить на знак плюс. Асимптотически выражения для спектра фазы имеют вид
Wrs(co)-^2W?x (со) при со-»-0, (19.19)
(©) при ©->оо, (19.20)
146
Глава 19
Эти две асимптотики с законом спадания /_'/з справедливы до тех пор, пока сo/Ut в (19.15) лежит между 2n/L0 и 2я//о- Для f/ft это требование имеет вид
^/kL/L0<f/ft<^JZ/l0, (19.21)
поэтому отличие фактического спектра от этих асимптотических значений указывает на влияние внешнего и внутреннего масштабов турбулентности.
19.3. Частотные спектры с учетом средней и флуктуационной скоростей ветра
Учтем теперь среднюю скорость ветра и ее флуктуации. В этом случае необходимо осуществить усреднение по флуктуациям скорости Vf. Спектральную плотность для стационарного случая Фп(и) следует при этом заменить на спектральную плотность Фп(и, т), зависящую от времени. Этот вопрос рассматривается в приложении А, разд. А.7. Имеем
Ф»(и» *) = Ф» (*)Х (— *т); (19.22)
здесь %(—ит)—характеристическая функция флуктуаций скорости Vf, которая определяется выражением
х(— ят)=^ехр(— Ы -VfT)p(Vf)dVf, (19.23)
где p(Vf) —плотность распределения вероятности для Vf. Таким образом, временная корреляционная функция B%(L, т) есть
оо
BX(L, t) = 2n2k2L J и d-л J0 (xU tx) fy (x) Ф„ (x, t), (19.24)
о
где Ut — поперечная скорость ветра, а продольная компонента средней скорости U на Bx(Z,,t) не влияет.
В случае гауссова распределения p(Vf) с дисперсией or2 частотный спектр ^х((й) имеет вид
оо
Wx (со) = 8n2k2L ^ и d%fx (и) Фп (х) / (х, со), (19.25)
о
оо
/ (х, (о) = y ^ /0 {y,Utx) ехр [— (х2аг2т2/2) — шт] (19.26)
— оо
В общем случае (19.25) нельзя записать в более простом риде. Однако можно найти асимптотическое значение при <o-+-0f
Временная корреляция и частотные спектры флуктуаций волн f47
Если to —> 0, то интеграл в (19.26) вычисляется:
1 (2я)1/2 ( U2t\ ( и] \
/(’t'0) = 7—(,9'27)
Подставляя это выражение в (19.25) и используя формулу
