Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Тонкий случайно-* неоднородный экран
Плоская
волна
Точка
j наблюдения
т
1
I
I
I
х-0 x-L
Рис. 20.8. Геометрия задачи о тонком (фазовом) экране.
Приближение фазового экрана широко использовалось в астрономии [251, 292, 297, 301, 340]. В этом приближении предполагается, что интенсивность флуктуаций параметров среды достаточно велика, чтобы вызвать сильные флуктуации волны, но толщина слоя достаточно мала, так что в плоскости экрана имеется только фазовая модуляция,волны. Дальше эта модулированная по фазе волна распространяется в свободном пространстве; при этом на некотором расстоянии L от экрана возникают флуктуации интенсивности (рис. 20.8).
Обозначим Г4 через Г и представим в виде
Г —ехр(г|)). (20.130)
Подставляя (20.130) в (20.122), получаем
1F “ Т • Vrl1|>] + Q = 0. (20.131)
Интегрирование по х дает
X
Sf = -Qx + -L\ [Vr2i|> • Vrlq + ?r2 • V,,*]dx. (20.132)
0
188
Глава 20
В случае тонкого экрана толщины Ах величину \|) можно разложить в ряд Тейлора
оо
Ф = ? а„ (Д*)п (20.133)
Л=1
и получить рекуррентные формулы для ап¦ Ясно, что второе слагаемое в (20.132) в случае тонкого экрана имеет порядок не ниже (Ал:)2, поэтому приближенно получаем
^ = -QAx. (20.134)
Таким образом, момент четвертого порядка Г в выходной плоскости экрана (л: = 0) равен
Г0 = ехр (г|з),
г|> = — \р (rj) + D (r2) — ~D(rx + г2) — j D (г, — г,)], (20.135)
D (г) = 2,92С^2г5/3 (Ах).
Рассмотрим далее четвертый момент поля при распространении волны в свободном пространстве от л: = 0 до х = L. В свободном пространстве уравнение (20.122) принимает вид
(w-Tv''-'’«)r = a (2<Ш6>
Проведем в этом уравнении преобразование Фурье по переменным Г! и г2. Полагая
М (х, хь х2) =_(2я)і" S dri rfr2r ехР (— ІІ11 • Г1 — iil2 • Гг), (20.137)
получаем
(ж + Т ' *2) М (-х’ *1’ = °- (20.138)
Решение этого уравнения имеет вид
М (L, хи х2) = М (0, хх, х2)ехр [— (i/k) х, • х2Ь], (20.139)
где через М(0, хх, Х2) обозначен фурье-образ Г при х — 0 (Го)
[см. (20.135)]:
М (0, хх, х2) = -^г^ dr\ dr2exp(i|Oexp(— ixx • Г! — ix2 • r2). (20.140)
Осуществив в (20.139) обратное преобразование Фурье по х\ и х2, получим выражение для четвертого момента Г (L, гі, г2). После интегрирования по хх и х2 имеем
Г (L, г і, г2) =
= (гнг)2 5 dr'1 dr2 ехР [г’ Т (fl—¦ (f2—f2) + У (fb r2)] • (20.141)
Сильные флуктуации
189
С другой стороны, МОЖНО провести интегрирование ПО Щ И Ґ2 и обозначить xi = и. Тогда получим
Г (L, гь г2) = ^ dx ехр (гх • rt) 5 (L, х, г2),
S(L, х, г2) = -щт ехр [ — гх • г{ + г|з (г(, г2 — (20.142)
где ij? определено формулой (20.135).
Поскольку второй момент интенсивности равен T(L, гь 0) [см. (20.126)], функция S(L, и, 0) есть не что иное, как спектральная плотность флуктуаций интенсивности. Выражение (20.142) для S было получено различными авторами [292, 297]. Поскольку функция S является фурье-образом второго момента интенсивности, она описывает и угловое распределение интенсивностей волн, .приходящих с различных направлений. Поэтому S(L, и, 0) часто называют угловым спектром флуктуаций интенсивности. В этом случае удобно использовать переменную и = кв, где 0 —. двумерный вектор, компонентами которого являются направляющие косинусы. Если направление волны, приходящей в точку наблюдения, определяется единичным вектором і = їх + ту + nz, то 0 = ту + nz.
Окончательные результаты часто удобно и поучительно представлять в безразмерном виде. Такое представление можно получить следующим образом. Из (20.135) видно, что все функции D имеют общий множитель. Поэтому положим
D (г) = (х0г)5/3 = /5/3, (20.143)
где х0 = [2,92С^2Ах]3/5. Вводя безразмерный волновой вектор = х/хо, запишем
5 (L, х„, 0) = -(2лхУ ^ rftexP Ып •1 + И Г , “ 1 п (20.144)
1]з = — [ys/з _j_ (ах„)5/3 —2 11 + аип 15/3 — YI * ~ ах« 1°/3] >
где a = (xoL)/fe. Заметим, что для численных расчетов можно использовать формулы
2л
^ dt = ^ ldi\^ d<f>, х„ • t = х„/ cos ф,
о о
11 + ax„ |5/3 = \f + a2x'n -f- 2a/x„ cos ^>]5/6.
Отметим еще, что при х„->0 интеграл расходится и S стремится к функции (і/Xq) б (хл) = б (х), описывающей спектр квадрата средней интенсивности </>2 = 1 [см. (20.127) и (20.1506) ].
Выше мы отметили, что спектр интенсивности S выражается через два безразмерных параметра хл и а. Для выяснения смыс-
190
Глава 20
ла параметра а проанализируем решение задачи о фазовом экране в приближении Рытова. Из (17.111) имеем
l -
о\ = 0,563&7/б J сіцСІ (tj) (L - т!)5/б. (20.146)
о
В случае тонкого экрана можно записать
С?(т]) = С?(Д*)в(т1). (20.147)
Тогда для о\ в приближении Рытова получаем
о\ = 0,563k7l6Cl (A*) L5/6. (20.148)
Теперь легко проверить, что параметр а связан с о\ соотношением
а = [5,2 off15, (20.149)
так что спектр интенсивности S можно выразить через о%.
Общие выражения для второго момента интенсивности T(L,
Гь 0) в (20.126), корреляционной функции интенсивности Bi и
дисперсии флуктуаций интенсивности СТ/ имеют вид
Г (L, гь 0) = ехр (гх • Г]) S (L, х, 0) =
= ко ^ dxn ехр (гх„ • гп) S (L, х„, 0), (20.150а)
В] (L, гi) = хо ^ dvin [ехр (гх„ • r„) S (L, х„, 0) — {if б (х„)], (20.1506)
