Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
гл. v. проблемы одной ft двух частиц
порядка величины при дифференцировании их по времени. Следовательно, для мировой линии светового луча имеем
хк = хк А-хк А-хк -
хк-.
0 1 2
** -sT Xh -\
0 1 2
-і*
0 1 2
(1.7)
Все другие наши допущения остаются в силе. Это Означает, в частности, что дифференцирование по времени всех других величин увеличивает их порядок на единицу. Таким образом, принимая во внимание, что
А00 = goo — 1 = <р. hmn = Smn + = Wp- 0-8)
2 2
получаем из (1.2) и (1.3) в следующем приближении:
xfe+(log Х)10 = хт хк— «р|й, (1.9а)
xk Xk = у. (1.9б>
2 О
Отсюда видим, что xk = 0, и уравнения (1.9) дают нам возмож-1
ность найти мировую линию светового луча в следующем приближении.
Почти не теряя общности, будем рассматривать только задачу одного тела; в этом случае
ср = —-?^, r2 = xkxk. (1.10)
Распространение вычислений на случай проблемы многих тел при-, вело бы лишь к незначительным изменениям, так как в этом приближении теория является линейной и движение тел оказало бы влияние на луч света только в следующем приближении, которое нас не интересует.
В качестве нулевого приближения рассмотрим случай отсутствия гравитационного поля, т. е. приближение (1.5).
Умножая (1.9а) на хк, получаем о
(log Х)10 = —^=----(1.11)
и в силу (1.9а) уравнение для хк примет вид
2
f = 2(P,«f <1Л2) s і. проблема измерения
12S
Конкретизируем теперь вектор пк, полагая
о
?п* = 0. (1.13)
о
Это означает, что в нулевом приближении световой луч посылается перпендикулярно к вектору, проведенному от Солнца к точке, из которой испускается этот световой луч. Мы делаем такое допущение по двум причинам: во-первых, с точки зрения наблюдений, это — единственный случай, представляющий действительный интерес; во-вторых, хотя можно было бы без особых затруднений решить задачу и в общем случае, когда не ставится условие (1.13), однако формулы в этом случае оказываются значительно более громоздкими.
Итак, перед нами стоит простая задача—решить уравнения (1.12) при условии (1.13). Вследствие (1.10) уравнения (1.12) принимают вид
хк = ^ х"п'пк — Щ-хк. (1.14)
2 rOO г
Так как [х — величина второго порядка, то можно ввести в это уравнение вместо хк выражения (1.5), т. е. решения в случае галилеевой метрики. В силу (1.13) можно написать теперь
r2==a2 + ^_-L)2_ ^ = (1.15)
и уравнение (1.14) примет вид
2 (а2 + (t — г)2)/г о 0
Интегрируя это простое дифференциальное уравнение, получаем
xk = пк —-----2^
+ S ) + (1Л7)
у/а X0 a2 J 2
2 2 (a2 + (t — т)2;
где bk — произвольная постоянная, которая определяется из неко-2
торых добавочных условий. В качестве такого условия потребуем, чтобы
пк = 0 при гї = сс. (1.18)
2
Это условие означает, что вдали от гравитационного поля световой луч имеет заданное направление, перпендикулярное к Ik. В этом случае при t = оо имеем
128
гл. v. проблемы одной ft двух частиц
и, следовательно,
__^ Iл , Sfe (*-\ , м*
2 2 (a2 + (t~ х)
При t = T имеем
^(:*+?^)+-?1- с-»,
A-.=If es*-»*»)¦ (1.21)
о
Следовательно, чтобы вектор nb~\-nfc был при і = со перпенди-
0 2
кулярен к направлению необходимо, чтобы в момент времени f = T он имел небольшую составляющую в направлении Это известная формула для отклонения светового луча. Как видно из (1.20), при t — — с» компонента в направлении была бы равна
-« = 0-22)
Проинтегрируем теперь (1.17) при условии
**|1=, = 0. (1.23)
так как при t = x положение светового луча в точности определяется координатами Мы получим
к о к і Г + t—X 2ULrik . 2ц~к Д , t — X \
2 о а а а \ aI (1.24а)
Г2 == SV -f. (* — т)2 = а2 (t — xf.
Легко видеть, что этот интеграл уравнения (1.20) действительно удовлетворяет условиям (1.23). При t —> оо имеем теперь
Xft (Q я=! -?^- - 2|wt* log 2 ~ ^. (1.246)
2 "-O
В правой части этой формулы мы опустили все выражения, которые стремятся к нулю при tсо. Нас, по существу, интересуют проекции событий Sfe, т на удаленную галилееву систему, что реализуется при t—*oo. Обозначим теперь, как и в предварительных замечаниях к этому параграфу,
Eft = Xft 4- хк при t —* со. (1.25)
О 2
Тогда в силу (1.246) и (1.5)^мы будем иметь
E* = ?ft(l -4--^4-/^(;-т) — 2p./z*log 2(t~X) (1-26) s і. проблема измерения 12S
S * = (1.27)
о
Формулы (1.26) и (1.27) справедливы с той же степенью точности, что и-(1.24б). Это и есть окончательные формулы, связывающие события в нашей (ньютоновской) системе координат, определяемой нашей процедурой приближений, с событиями в удаленной гали-леевой системе координат. Однако необходимо помнить, что эти
формулы получены только при условии, что вектор Tlk перпенди-
0
кулярен к Именно этими формулами нужно пользоваться, если мы хотим дать объективное описание движения частицы. Вообще говоря, легко видеть, что в силу малости \х/а можно с успехом пользоваться приближенной формулой
Eft = Sft + nk(t — x). (1.28)
о
Иначе говоря, можно с большой степенью точности интерпретировать события в нашей римановой системе координат, рассматривая
