Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
А
не оказывает влияния на величины ta'\ так что их значения остаются
А А
теми же, как и в случае невращающихся тел; величины tr0s и trst
А
выражаются через постоянные параметры Srs, представляющие вращение.
Перейдем к следующему приближению. Уравнения (4.2) в пятом и шестом порядках определяют величину
(MmlO)l0 - * % = (? Ьо),0 -(4.14)
10 * IV — VfS |U/|0
¦-.---1 5 1 ¦ ¦----- —ї—
S 6 6
через выражения порядков 2, 3 и 4. Однако эта величина в точности равна нулю только в ньютоновском случае, в котором § 4. лагранжиан типа фоккера для вращающихся тел \2\
t0m = t°°^mto = V-^mIO- В случае же вращающихся тел она равна некоторой малой величине
^ =(Kmlo)lo-^0ml 0. (4.15)
б
6
которую можно вычислить в явном виде из (4.2), хотя это потребовало бы довольно трудоемких выкладок. Далее, дифференцируя по времени уравнение (4.3) с а = 0, получаем
А
А А 10)
<fT + } =0, (4..16)
6 3 V )\ о
I 00
-Xl- 6 з Iі» Л
D I 2
откуда
= Г (*<>«¦ _f00^|0) ' (4Л7)
4 З У 5 ------
U а
Таким образом, tr0° определяется из уравнений (4.2) и (4.3) с а = 0.
4
Затем можно использовать уравнения (4.3) с а = т для определения tmr, если trm0 произвольно. Уравнение (4.4) определит trms
6 5 6
и т. д. Мы видим также, что условие (1.21) выполняется, так как добавочные члены в гравитационном поле имеют порядок г-2. Добавочный член в A0 имеет вид
з
Zaa
йог = — 2 2 S-srO--I),(4.18)
3 A = 1 1
Таким образом, пост-ньютоновский лагранжиан для вращающихся тел существует и имеет вид
/ (-y^p + i/^o)^. (4.19)
Выделим в этом лагранжиане новые члены, которые связаны с вращением
N А ~ А -А АА Aa
,, \3 3 4 2 33 4 2 '
A = 1
2тс /
hor і« A0r dx
32 it J з з
NAa А А
і S (t°< 2 + tr0° ^r +1r0* h^r + trst та. (4.20)
A = l 33 42 33 42 122 гл. iv. вариационный принцип и уравнения движения
Пренебрегая членами, пропорциональными квадратам моментов, получаем окончательное выражение для системы двух вращающихся тел
12 1 /I4 122 /I4 212 /1ч
-2!x5-Sr1o(|)i _2pST|o(!) +
IEs IEs
211 /іч 1/1\ І/2 2 2
+ O(^)i 'KD1 /(f-^jo+ [Is I Ir ^ 5
+ J(I)1 f(fr-^0T10) dt. (4.21)
I cr h 5
Этим вопросом мы займемся в следующей главе. ГЛАВА V
Проблемы одной и двух частиц
§ 1. Проблема измерения
Мы рассмотрим наш лагранжиан в двух частных случаях: сначала для одной частицы, затем для двух частиц и найдем движение в выбранной системе координат, которая определяется методом приближений. Но прежде чем приступить к этой задаче, нужно выяснить, какой физический смысл будут иметь наши вычисления. Хорошо известно, что задача одного тела, т. е., скажем, задача о движении малой планеты вокруг Солнца, может быть строго решена без особых затруднений. Согласно этому решению, планета движется по эллипсу, как в теории Ньютона, а сам эллипс очень медленно вращается. Но что означают эти утверждения? Поскольку они относятся к некоторой конкретной системе координат, то, естественно, они потеряют физический смысл, если не будет охарактеризована система координат, в которой эти утверждения имеют силу. Однако, встав на ту точку зрения, что необходимо характеризовать конкретную систему координат, мы тем самым пойдем в разрез с духом общей теории относительности, согласно которому ее утверждения должны быть справедливы в любой (или почти в любой) системе координат. Некоторые авторы считают, что единственный путь решения этой дилеммы состоит во введении некоторых определенных систем координат. Как мы уже упомянули в гл. I, такая точка зрения представляется нам шагом назад от идей, провозглашенных ОТО.
Имеется, однако, простой способ избежать этих трудностей. Мы должны лишь ограничиться использованием систем координат, которые галилеевы на бесконечности, т. е. в которых при г^-оо метрика имеет вид
ds2 = 77.3 dx* dx$. (1.1)
В этой области можно говорить об идеальных жестких стержнях и об идеальных часах. Однако физические явления происходят не здесь, а в римановом пространстве с произвольными системами координат, удовлетворяющими единственному условию, что они переходят на бесконечности в галилеевы системы координат. Галилеева система является инерциальной, и, конечно, существует множество таких систем, связанных друг с другом преобразованиями Лоренца. Мы, однако, будем иметь в виду только одну 122 гл. iv. вариационный принцип и уравнения движения
Пренебрегая членами, пропорциональными квадратам моментов, получаем окончательное выражение для системы двух вращающихся тел
121 /,ч 122 /1х 212
IiL / 1 \ і і -і /іч 212 /іч
2^flo(I)i -2!х5^гЮ(|)і +
\ls IEs
211 / 1 \ !/IN І Л 22
-ь 2[і5 ;Г|0 (і) 1 - a (I) 1 f (JOГ _ ^0) dt +
[ S5 I Zr tO ° 5
+ J(I)1 fif-i^dt. (4.21)
Этим вопросом мы займемся в следующей главе. ГЛАВА V
Проблемы одной и двух частиц
§ 1. Проблема измерения
Мы рассмотрим наш лагранжиан в двух частных случаях: сначала для одной частицы, затем для двух частиц и найдем движение в выбранной системе координат, которая определяется методом приближений. Но прежде чем приступить к этой задаче, нужно выяснить, какой физический смысл будут иметь наши вычисления. Хорошо известно, что задача одного тела, т. е., скажем, задача о движении малой планеты вокруг Солнца, может быть строго решена без особых затруднений. Согласно этому решению, планета движется по эллипсу, как в теории Ньютона, а сам эллипс очень медленно вращается. Но что означают эти утверждения? Поскольку они относятся к некоторой конкретной системе координат, то, естественно, они потеряют физический смысл, если не будет охарактеризована система координат, в которой эти утверждения имеют силу. Однако, встав на ту точку зрения, что необходимо характеризовать конкретную систему координат, мы тем самым пойдем в разрез с духом общей теории относительности, согласно которому ее утверждения должны быть справедливы в любой (или почти в любой) системе координат. Некоторые авторы считают, что единственный путь решения этой дилеммы состоит во введении некоторых определенных систем координат. Как мы уже упомянули в гл. I, такая точка зрения представляется нам шагом назад от идей, провозглашенных ОТО.
