Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
147
по бесконечной сфере, отличен от нуля. В наинизшем нетривиальном приближении получим
P0 = f Tgnm dS =
S
= — (1.27а)
9 at* 9 о dt4 6 4 '
Pm = jTsmns dS = ±M*Xm (M = M). (1.276)
Последние уравнения показывают, как тесно излучение связано с движением. Если бы мы имели дело с потенциалом стоячей волны, то излучение отсутствовало бы вовсе. Но даже в случае запаздывающего потенциала можно по нашему усмотрению устанавливать излучение, выбирая надлежащим образом движение центра тяжести и величину М. Положим, например,
4
Xm = O. (1.28)
Это условие даже менее жесткое, чем требование равномерного движения центра тяжести. В таком случае имеем
Pk = 0.
(1.29)
Если
М=~ i-D^ + otf + ?, (a, ? = const), (1.30)
4 b
то все компоненты вектора Pet будут равны нулю. Но
= = 47+22 (1.31)
va / j оо а
где
1 ЧЧ А 4 л-
T=YZim^pj- (L32)
А
Что касается второго слагаемого в (1.31), то, например, в случае ньютоновской силы мы получим
.. я ABAB A ABAB .4
V mis\s= У тт ^ (SS — iS) — 1 У mmis(is — is)
Jmak ami »-З О ім гЗ
Л А, В rAB * л, в nAB
ABBBA AB
1 V' m5s(5s-?s) 1 V тт ЇГ
— Y Ті -з-=--2 2и ~r— = V = Потенциальная
А в rAB AB АВ энергия.
(1.33)148
гл. vi. движение и. излучение
Таким образом,
Dss = AT2V = 2Т—j— 2Е, (1.34)
где E — энергия, которая является постоянной величиной.
Следовательно, в случае ньютоновской силы, P0 обращается в нуль, если
Ж = — 1 7. (1.35)
4
Мы ограничивались в разложении величин Tnm и Tj1 членами соответственно седьмого и восьмого порядка. Однако общая идея ясна: мы можем устранить излучение надлежащим выбором законов движения. В случае ОТО ситуация более сложная. Здесь уравнения движения определяются уравнениями поля. Тем не менее и тут основная цель нашего исследования остается той же самой — установить связь между уравнениями движения и уравнениями, определяющими излучение. Нет особого смысла рассматривать излучение без источников; движение же этих источников, а следовательно, и гравитационное излучение, определяются уравнениями поля. Они определяются также выбором системы координат, граничных условий и выбором решения. Мы покажем, что при определенных координатных и граничных условиях, которые представляются нам достаточно простыми, излучение отсутствует.
§ 2. Уравнения движения в форме поверхностного интеграла
В этом параграфе мы напомним, как уравнения движения: в ОТО были первоначально сформулированы в 1938 г., или, точнее, одиннадцать лет спустя, в 1949 г. Хотя в последней работе формализм значительно упрощен и мы интересуемся лишь общей формой этих уравнений, однако идея остается той же — выразить уравнения движения при помощи интегралов по поверхностям, охватывающим источники.
Запишем уравнения поля Эйнштейна в форме, которая им придана в (5.12) гл. II,
(Г' + StzJv-" = K^91 а(, + iV((ST) + BttJ"" = 0. (2.1) В этой формуле
/Cliav(3 = Kv*' = Y (тГТ113+ ^Tctv — TvTap — TffVv) (2.2)
представляет собой линейную часть (Spv; она антисимметрична по индексам j«., а и v, ? и симметрична по отношению к взаимной перестановке [ха и v?. Выражение Л^®1"). которое мы будемs 2. уравн. движения в форме поверхностного интеграла 149
обозначать через Altv1 является нелинейной частью ®ltv, и, наконец, Jji" представляет собой плотность тензора энергии-импульса. Связь между т и g исчерпывающе представлена в гл. II. Перепишем (2.1) в виде
К1"" ^ a? + Allv+ Sicj«" = 0. (2.3)
Докажем теперь лемму, которую неоднократно будем применять в дальнейшем.
ЛЕММА. Пусть имеется некоторая функция анти-
симметричная по индексам k, s и обладающая, кроме них, другими произвольными греческими или латинскими индексами, которые мы условно обозначили точками в скобках. Тогда
f^:')ks[snkdS = 0, (2.4)
S
если S — произвольная замкнутая двумерная поверхность, не проходящая через сингулярности поля. Под величиной пк мы понимаем
nk = cos(Xі, n), (2.5)
т. е. компоненты „единичного нормального" вектора к поверхности Слова „нормальный" и „единичный" употреблены здесь в условном смысле, указывая на соответствующие функции координат, которые подразумеваются под этими терминами в евклидовой геометрии.
Доказательство этой леммы довольно простое. Прежде всего мы видим, что интеграл (2.4) наверняка не зависит от формы поверхности, поскольку не изменяется число сингулярностей, заключенных внутри такой поверхности. Это следует из того, что
^<->^ = 0, (2.6)
и из теоремы Грина. Представим теперь в виде
..) = JsrЛ(-¦•)_ (2 7)
или в явной форме
^(..O1 ^-)31 = ,4"), «У*"»12 = «/&•¦>. (2-8) Тогда интеграл (2.4) можно записать в форме
k\ nk dS= f BksrArlsnkdS= Jrotn jtdS. (2.9)
a s а
Этот интеграл может быть преобразован по теореме Стокса в линейный интеграл по контуру, ограничивающему поверхность. Но мы условились, что поверхность замкнутая и, следовательно, длина150
гл. vi. движение и. излучение
ограничивающего ее контура равна нулю. Таким образом, лемма доказана.