Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
Имеется, однако, простой способ избежать этих трудностей. Мы должны лишь ограничиться использованием систем координат, которые галилеевы на бесконечности, т. е. в которых при г—>оо метрика имеет вид
ds2=f1^dx"dxK (1.1)
В этой области можно говорить об идеальных жестких стержнях и об идеальных часах. Однако физические явления происходят не здесь, а в римановом пространстве с произвольными системами координат, удовлетворяющими единственному условию, что они переходят на бесконечности в галилеевы системы координат. Галилеева система является инерциальной, и, конечно, существует множество таких систем, связанных друг с другом преобразованиями Лоренца. Мы, однако, будем иметь в виду только одну 124
гл. v. проблемы одной ft двух частиц
из этих систем. В случае Солнца это будет галилеева система координат, в которой Солнце покоится; в случае системы двух тел это будет система координат, в которой покоится либо центр тяжести, определяемый формулой (3.4) гл. III, либо одно из двух тел.
Каким образом можно сопоставлять событиям, происходящим в нашей произвольной системе координат, некоторое событие
в галилеевой системе координат? Обозначим через т и время и пространственные координаты; некоторого события; Наблюдатель в галилеевой системе координат узнает о событии по световому лучу, посылаемому к нему и' достигающему его в точке Eft в момент времени Т. Таким образом, каждое событие в римановом пространстве проектируется на галилёеву систему координат на очень большом расстоянии от этого события; где влиянием гравитационного поля можно пренебречь. Представим себе несколько событий, которые происходят в окрестности Солнца и при этом лежат в одной плоскости. (В данный момент мы игнорируем трудность, связанную со способом определения событий, лежащих в одной плоскости.) Пусть это будет плоскость (jc, у). Каждому событию сопутствует испускание светового сигнала, который достигает плоскости (X, К) галилеевой системы координат. Эти световые лучи посылаются таким образом, что они падают перпендикулярно к плоскости (X, К), которая расположена параллельно плоскости (jc, у). (Мы снова игнорируем трудность, связанную с определением параллельных плоскостей.) Описание событий (т, S1, S2) на плоскости (х, у) зависит от выбора системы координат. Метки же Т, E1, E2, оставляемые соответствующими сигналами на галилеевой плоскости (X, К), дают возможность объективно описать события, так как нам известна структура стержней и часов, при помощи которых можно устанавливать положения и моменты времени этих событий. Итак, наша задача состоит в том,
чтобы найти соответствие между событиями X, Eft и Т, Eft1 что даст нам возможность перейти от субъективного к объективному описанию событий. Если изменить системы координат во внутренней области, сохраняя галилеев ^характер на бесконечности, то координаты т. 4k изменятся, а Т, Efc останутся теми же. Чтобы сделать это более наглядным, рассмотрим такую механическую модель: представим себе жесткую плоскость, из которой исходят проволоки, оканчивающиеся на другой, резиновой плоскости. Можно менять и деформировать резиновую пленку, жестко закрепив первую плоскость и концы проволок на ней. Аналогия с нашим примером очевидна: жесткая плоскость играет роль галилеевой системы координат, резина — роль системы координат в римановом многообразии, проволоки — роль, световых лучей. s і. проблема измерения
12S
Итак, наш математический анализ мы начинаем с нахождения связи между событием т. и соответствующим событием Т, Ek: Так как все пробные частицы независимо, от их массы движутся по геодезической, то это также имеет место для светового луча. По сути дела, это является некоторым допущением, но оно достаточно обосновано. А именно световой луч движется вдоль нулевой геодезической. Так как ds = О и нельзя говорить о массе, то лучше всего использовать такую форму уравнений движения, в которой ds не фигурирует; в такой форме параметром является время t. Положим для краткости -
?:=1, k=\, x° = i, xk = ^-=xk.n.
at |0
Уравнения геодезической линии с t в качестве параметра имеют вид
+ !^? = 0. (1.2)
Из этих трех уравнений можно найти три величины хк\ четвертое уравнение, определяющее величину X,
ga&x*x? = 0, (1.3)
констатирует, что геодезическая линия является- пулевой линией.
Начнем со случая, когда гравитационное поле отсутствует. Здесь мы имеем
i*-I--^-Jc* = 0- xkxk= 1, (1.4)
откуда следуют соотношения
-i- = o, xk = lkAmk(t — -), nknk=\. (1.5)
Это — мировая линия светового луча, испущенного из точки Sft в момент т в направлении nk, в евклидовом пространстве и в га-лилеевой системе координат. В самом деле,
Xk = Hk, Xk = Oі Xk = Ik при t = т. (1.6)
Теперь мы хотим учесть гравитационное поле. Очевидно, что наша процедура приближений, опирающаяся на малость скорости движущихся тел по .сравнению со скоростью света, может быть успешно использована лишь в том случае, если эта скорость на самом деле мала по .,сравнению со скоростью света. Для светового луча этот метод, разумеется, не может быть использован. Поэтому для нашего следующего приближения будем считать, что координаты Xk точки, лежащей на мировой линии, не меняют 126
