Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
Е'=а +2<и
і і і і і
і і і
/
/
/
Солнце 4'=а
Фиг. 1. Связь между субъективным и объективным изображением события.
ее как галилееву систему, если только эти события происходят не слишком близко от Солнца. Так, если рассмотреть только Землю и Солнце с массой M, то для события на Земле имеем
а?« 1,5 • IO8 км, ц=—»1,5 и (1.29) и, следовательно,
~ 2 • IO 8. (1.30)
а 4
Зак. № 222 130
ГЛ. v. проблемы одной ft двух частиц
Рассмотрим в качестве примера событие, для которого
T = O1 S1= C, S2=S3=O; (1.31)
отсюда, поскольку Ss^s = O, то о
= о, /г3 = 1. (1.32)
ООО
В этом случае имеем (фиг. 1)
S і = о + 2|і, S2 = O, S3 = *(l log I-), (1.33)
или для достаточно больших значений t
S1 = а-(- 2[х, E2 = O1 E3 = t. (1.34)
Изложенное в этом параграфе понадобится нам, чтобы объективным образом интерпретировать движение частиц.
§ 2. О движении пробной частицы в поле тяжелой частицы
Известно, что задача о пробной частице, движущейся в поле Солнца, может быть строго решена. Тем не менее мы найдем движение в пост-ньютоновском приближении на основе наших основных формул, не используя ни явного вида метрической формы, ни уравнения геодезической линии.
Начнем с конкретизации лагранжиана. Положим 12 12
Sft = O, Sft = Sft, u. = [i, [X = Д[х. (2.1)
Будем всюду пренебрегать всеми степенями величины Д[х выше первой. Тогда,' поделив лагранжиан на Aja1 получим новый лагранжиан
І + + і + + OSelO--5--?-. (2.2)
Здесь удобно ввести вместо X0 новую переменную согласно формуле
dx° = {\+^dx'0, (2.3)
так что
LdxP = Udx'0. (2.4)
Обозначая производные по значком 0', запишем лагранжиан в виде
U + U = 1 SalO-Sa1O- + f +S%-Sa,о- - f )2 + ^• (2-5) § 2. о движении пробной частицы в поле тяжелой частицы 131
В силу ньютоновских уравнений движения выражение в скобках есть постоянная величина. Отбрасывая ее, получаем
+ f =4 * W + ^r+ ¦ (2-6)
Этот лагранжиан соответствует лагранжиану классической механики в случае потенциала вида
V =--j— (2.7)
В качестве интегралов этой задачи мы имеем закон сохранения импульса, который в системе полярных координат (ср, г) принимает вид
г*? =/+/, (2.8)
|и і з
и закон сохранения энергии
T [CioO2 + (?ю02] - У = ? + f • (2-9)
Таким образом, наша задача сводится к хорошо известной проблеме в классической механике. Ее решение, записанное в параметрической форме, дается формулами
r = a( 1—є cos и), (2.10а)
cH1 + TT-=^r)2 агс t^ tg т- (2АОб)
je'o = j/~'-I-JLya — esin и). (2.10в)
Постоянные а и є определяются постоянными величинами EnJ. Однако удобнее рассматривать в качестве заранее задаваемых параметров величины а и s, а не E и J. Простой подстановкой можно убедиться в том, что (2.10) действительно является решением уравнений (2.8) и (2.9). В случае є > 1 нужно заменить
а на —а и и на —іи. (2.11)
Получив таким образом решение нашей задачи, можно теперь перейти к первоначальной временной координате jc°
-jT-) dx/ts =
- dX'° + adJTco») V ТІ1 + (1 - S C0S a)da -
= d(x> o + ?/-Za). (2.12)
9* 132
гл. v. проблемы одной ft двух частиц
Интегрируя и подставляя вместо х'° его выражение согласно (2.10), получаем
Эту формулу можно использовать вместо (2.10в).
В ньютоновском приближении уравнения имеют вид
г = а( 1—Scos и), (2.14а)
<р = 2 arctg|/~l±ltg-J, (2.146)
JC0=]/"(и — є sin и). (2.14в)
Вопрос о траектории такой частицы рассматривается почти во всех книгах по ОТО. Эту траекторию и движение перигелия можно легко вывести из наших более общих формул. Введем вспомогательный угол ф
ф = 2 arc tg (2.15)
Можно легко показать, что
1_?2
1—ecosa=r~;-p. (2.16)
1 + є COS ф v '
Таким образом, из (2.10) находим
1 + Є COS (I-^13Hs2j)y
(2.17)
За один оборот перигелий сдвигается на угол о, определяемый соотношением
(1 — fl(i3ut»))(^ + «) = 2«. (2-18) из которого следует знаменитая формула движения перигелия
-- 6^ (2.19)
<2(1 — в2)
Если нас интересует только соотношение (2.17), а не отыскание г и ср как функций х°, то мы можем получить окончательно результат, касающийся сдвига перигелия, весьма просто и быстро. Из (2.9) и (2.8) после повторного дифференцирования по ср мы получаем § 2. о движении пробной частицы в поле тяжелой частицы 133,
Это уравнение стандартного вида и имеет решение Отсюда, полагая
? = ^(1-.8)!-1.
найдем (2.17).
Возникает вопрос: каков физический смысл всех этих результатов? Другими словами, насколько иными будут выглядеть эти результаты с точки зрения галилеевой системы координат?
Предположим, что на бесконечности в плоскости, параллельной плоскости движения, находятся наблюдатели, которые .получают световые сигналы. Координата Z = X3 этой плоскости очень велика, но имеет постоянное значение. Плоскость, в которой происходит движение, мы будем обозначать символом (х, у), а бесконечно удаленную плоскость, параллельную плоскости (х, —символом (X, Y).
Если световой луч падает перпендикулярно к плоскости (X, К), то, подставляя T вместо t и введя обозначение
