Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
= ho.....Ь' SV)- 0-5)
причем здесь предполагается, что в gaр входят только первые производные по времени величин ск. 106 гл. III. НЬЮТОНОВСКОЕ И ПОСТ-НЬЮТОНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
S
откуда следует
aa , 1 a а 1 г1/і ч
'р-PaX0 + Qa' (4-Ю)
л V в J ->5
где Qa — постоянная величина.
Из этих уравнений можно вывести ряд интересных физических следствий. Мы видим, что полная гравитационная масса, определяемая законами сохранения, отлична от полной инертной массы,
Vi А А
определенной раньше. Действительно, назовем ^ (р--)-(*) полной
А 2 4
инертной массой вплоть до членов четвертого порядка, a E— пол-
4
ной гравитационной массой вплоть до членов четвертого порядка. Тогда, как легко видеть из уравнений (3.29) и (4.3), имеем
А В
.4 .4
> с і ^ ' M-
= «*'<>+ 2ft
А А
д в
Y S MV ^IO- = f (4Л1>
А А, В
Итак, именно полная гравитационная масса, а не полная инертная масса является сохраняющейся величиной. Равномерно движется именно центр тяжести этой гравитационной, а не инертной массы.
Мы вернемся к этой проблеме в последней главе. Там обсуждается также другая, более общая проблема: можно ли независимо от лагранжиана и от метода приближений сформулировать на языке теории поля законы сохранения для произвольного тензора энергии-импульса. Наши рассмотрения выявили тесную связь между этими законами сохранения и уравнениями движения. Однако уравнения движения могут быть выражены на языке теории поля. То же самое должно быть возможно и для законов сохранения. Именно к этой проблеме мы !і обратимся в последней главе. ГЛАВА IV
Вариационный принцип и уравнения движения
третьего рода
§ 1. Постановка проблемы
В гл. 1, § 3 мы обсудили уравнения движения первого и второго рода, исходя из вариационного принципа. Напомним вкратце, как были формулированы уравнения движения второго рода. Мы ввели
dsA = (g^dbdPyi,, (1.1)
где
^ г
^ap = J 8 a-2)
и затем варьировали интеграл
^A ? А AA
УГ' = — 2л1П{0)с J (^dfdW (1.3)
A= 1
по V при условии, что о;* обращаются в нуль на концах интервала. В результате варьирования мы получили выражение
N , =2, A A0 AAA
vа Г d ~ dt' 1 - d°e dZ\ .. ..
Im(O)cJ 0Ї (557^її--TЖ7^7), (1А)
A = 1 a, ^a А A A J-
из которого легко выводятся уравнения движения.
Все это уже было проделано. Здесь мы хотели бы обратить внимание на одно существенное допущение, которое было сделано в ходе наших рассмотрений. Оно состояло в том, что величины считались заданными функциями, не подлежащими варьированию по Ї. Это означает, что, используя определение (1.2) и варьируя величины по ?, мы учитывали их зависимость от Sa только через 8-функции. Однако мы знаем, что в действительности зависят от Z и их производных по времени
*„р = *.в(*°. Ik- ho. ?*,„). (1.5)
причем здесь предполагается, что в входят только первые производные по времени величин с\ 108 гл• !v- вариационный принцип и уравнения движения
Напомним также, что процесс „препарирования" подразумевает замену X на S и отбрасывание сйнгулйрностей, так что
? Л I 1 ' N N
= sV^V ..., Sft, SftIo). (1.6)
Напомним также, что, согласно формуле (0.18) раздела „Система
обозначений" или сказанному .в приложении 2, ~ — ~ л ~
ga-i |0 = g^loH-giP U SirIO==^P I-J (1-7)
a ^L- _?,
g в =g B_+g*rfls°AB- (1.8)
»PIS'*
Сформулируем теперь нашу проблему. Мы ищем лагранжиан
L = L (х°, \k, Ко.....f*. TftI о) (1.9)
такой, чтобы вариация действия по исчезающая на пределах интегрирования, давала бы правильные уравнения движения третьего рода, т. е. чтобы из требования
X"
О
X
J LdxV = о (1.10)
вытекали уравнения движения всех частиц.
Такой вариационный принцип, если он существует, мы будем называть вариационным принципом Фоккера, так как именно он впервые ввел его в электродинамику.
Представляется целесообразным следовать вначале тому пути, при помощи которого мы получили правильные уравнения движения второго рода. Поэтому попытаемся взять в качестве исходного лагранжиана L' выражение
L'=L'{x», SA, = (1.11)
Здесь величины g"aB должны рассматриваться как функции S, Sio я
Запишем уравнения движения для этого лагранжиана
%-(% ) (1Л2>
is V U |о/|о Если, как и прежде, положим
A Aa.
A km,m Ахо km,cn ~ А и
,, __w ал _ (о) / „ e« cii Il /1 ,
~ с2 ~ds~ 'с2 ^ |0' ' (1-13)
А S 1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ'
109
то, учитывая (1.8), придем к уравнению - ..¦ -
b'-Lb j в JL в в
(p-'&?S 1б)| 0— T PS^is ^10^ ю-
А А
1 л--а ай 1 /V4I А— А \ '
-TZiPZ B IalOl910+4( У HS Bj «',0^,0^ =0. (1.14) 2A \А ""6IO J1O
Выражения в верхней и нижней строке играют для нас различную роль. Если бы присутствовали только выражения верхней строки, то проблема была бы решена. В этом случае формула (1.14) давала бы три уравнения движения (7.8) гл. I, а четвертым уравне-
A '
нием служило бы определение величины н согласно (1.13). Однако этому препятствует наличие двух выражений нижней строки. Следовательно, L' не пригоден в качестве лагранжиана типа Фоккера. Вообще говоря, мы не знаем даже, существует ли лагранжиан такого типа. Известно, например, что в электродинамике для запаздывающего и опережающего действий не существует такого лагранжиана. Поэтому наша цель заключается в том, чтобы выяснить, можно ли избавиться от выражений, стоящих в нижней строке формулы (1.14), и если можно, то при каких условиях.
