Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
I А А Л ¦ .А *
S (Г ~~ fIrM yt=~\srs^s-
В этом частном случае изложенные выше рассуждения остаются почти неизмененными. Изменится только определение величины Srs в последнем уравнении (4.2). Это значит, что в системе координат, в которой центр тяжести покоится, характер движения будет соответствовать анализу настоящего ,параграфа. ГЛАВ А, VI
Движение и излучение
§ 1. Простой пример
В этой главе мы покажем тесную связь между уравнениями движения и гравитационным излучением. Приступая к этой проблеме, начнем с простого, почти наивного, но поучительного примера. Представим себе (что и делалось в эпоху, предшествующую появлению ОТО), что мы ищем уравнение для гравитационного поля, согласующееся со специальной теорией относительности. Простейшим вариантом представлялось бы постулировать в качестве такового скалярное уравнение Даламбера, т. е. уравнение вида
N ДА
TJotPcp , = —4IzYl тЪ. (1.1)
' .4 = 1
Мы предполагаем здесь, что масса является функцией времени, причем
.4 .4 .4
т = т-\- т-\- . .., (1.2)
2 4
.4
где /и — постоянная величина; скорость света на протяжении всей
2
главы принимается равной единице. Чтобы определить излучение, посылаемое источниками поля, которые движутся произвольным образом, необходимо прежде всего найти запаздывающее решение. Известно, что такое решение имеет вид
Тзап.(Х- ^ = (КЗ) .4
Решение для опережающего потенциала определяется формулой *> —S"«+"W-™ + "'». (1.4)
.4 144
гл. vi. движение и. излучение
В двух последних уравнениях принято обозначение
Rf2 = (Xts-Xs)(Xfs-Xs). Наконец, имеется решение в виде стоячей волны
ЇСТ. = T (cPaan.+ Топ.)- (1-5)
Очевидно, что излучение связано с решением в виде запаздывающего потенциала, которому мы поэтому уделим особое внимание. Разложим величины т и a в степенные ряды:
m(t — Rf) = m(t)— m(t)Rf-\-^m(t)Rf2F- ¦••. (1.6а) A AA'
b(xf — %(t — Rf)) = <>(xf — lZ(t))—b{0Rf +
+ ¦5-Sioo/?'1 — ^rSiooo/?'3+ ...: (1.66) С учетом членов пятого порядка это дает для срзап выражение
Тзап. = - S [» J Д '00 - І Я'I«») - »] ' "7>
где
Ri = (xs — Ь (Xs — Р). (1.8)
Это обычный подход к уравнениям поля (1.1) через запаздывающий потенциал (1.3). Однако представляется более поучительным подойти к проблеме с точки зрения нашего метода приближений.
Чтобы несколько упростить задачу, допустим на время,
что m = m(t). Иными словами, мы не будем разлагать т в сте-
2
пенной ряд. Тогда в соответствии, с нашим методом приближений будем иметь
AA
9 Iss = ^ir 2 (1.9)
*=-и4- п-ю)
A R
J,„= -2(»Я_1),оо (1.11а)
Следовательно,
Отсюда находим s 1. простоя пример
145
? = -4-J (^A100. (1.116)
4 "л
Если и дальше порядок ср повышается скачками на две единицы, то получим
oo
VVl d21
^-^)7^^-1)- (1.12)
Фет. = —__
A I=О
Мы видим, что это решение представляет собой стоячую волну, так как оно не чувствительно к преобразованию t' = — t. Итак, простейшее решение, даваемое нашим методом приближений, соответствует стоячей волне. Чтобы' получить решение в виде запаздывающего потенциала, нужно начинать с ср и затем опять
з
повышать порядок скачками на две единицы. Начальная функция должна быть гармонической, причем уравнение (1.7) указывает нам, какова эта гармоническая функция. Мы должны положить
ср = т. (1.13)
з 3
Тогда, снова продвигаясь постепенно, найдем радиационную часть ср:
Таким образом, метод приближений естественным образом подразделяет решение на решение в виде стоячей волны и решение, представляющее излучение. Отсюда имеем
tF зап. tFcr. ~t- "Ррад.'
(1.15)
cPon. cFct. tFpaa.' (1.16)
Обратимся теперь к нашей задаче, т. е. найдем излучение с помощью запаздывающих потенциалов, которые определяются вплоть до членов пятого порядка выражением (1.7).
Тензор энергии-импульса для такого поля будет иметь вид
= (I-")
В самом деле, мы имеем для такого тензора
AA 146
гл. vi. движение и. излучение
и, следовательно, вне сингулярностей всегда выполняется соотношение
TJu = Q. (1.19)
Как обычно, определим поток излучения величиной
f TUsdS = Pa, (1.20)
і
где S — сфера очень большого радиуса, охватывающая все сингулярности. Найдем поток энергии-импульса в случае наших уравнений поля вплоть до членов восьмого порядка.
Обратимся к формуле (1.7). Нас интересует это выражение только при очень больших значениях R. Будем обозначать через г расстояние от некоторой неподвижной точки, которую мы выберем в качестве начала системы координат,
г2 = xsxs. (1.21)
Тогда
/ (R) = f(r) - % + г JA" -
1 -4 -4 -4
•••• (1-22)
Поскольку г не зависит от времени, то из (1.7) и (1.22) получим , = - ц. + MX- (I)i s -1D- Щ v 4- і Г „MX- -
— TOSPr\sp — т MXsXs+1 Dm+ ЛІ, (1.23)
где ¦
M=JlIn. MXs = Jm\s, Dsp = Jmls^p. (1.24)
AAA
Для cp|m, ограничиваясь порядком находим
' -'Im 4 ] sm 1
-T 0"гіаря-±МХ*. (1.25)
Вычислим теперь величину
= cP1OTlm =-VW ^1-26)
При этом нас будут интересовать только те выражения, которые дают вклад в поверхностный интеграл, т. е. выражения, имеющие порядок 1 /г2, и поверхностный интеграл от которых, взятый S 1. ПРОСТОИ ПРИМЕР
