Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
L-+ ?'=4*' 3I,. (3-13)
s 3. проблема двух тел
137
Таким образом, проблема стала эквивалентной задаче одного тела, находящегося под действием поля с потенциалом вида
0 (3.14)
V = —
Н-о Г'
о-*)"
В силу этого дальнейшее рассмотрение почти в точности такое же, как в предыдущем параграфе. Для траектории мы находим
1 + ? COS
3(?
(1-?. '(1-е*) Но из (3.86) находим
г= ar'-basn = (і
Следовательно, вводя обозначение
.'(.-і)=«.
а (1 — «») ц
V
будем иметь
1 + ? COS
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
Отбрасывая аддитивную постоянную р/2, мы видим, что прие< 1 движение происходит по эллипсу, причем за один период оборота перигелий смещается на угол
Таким образом, мы пришли к тому же результату, что и в случае проблемы одного тела, с той лишь разницей, что теперь вместо (X стоит величина [і0, представляющая собой сумму масс.
Каков физический смысл этих результатов? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вернуться к рассуждениям § 1 этой главы, і
Из точки Ss в момент времени X испускается световой луч. Но теперь движутся две частицы. Правда, вкладом, обусловленным их движением, можно пренебречь, так как он имеет порядок выше второго. Другая трудность заключается в том, что теперь масса излучающего тела имеет конечную величину. Однако вследствие сферической симметрии излучающей частицы это обстоятельство тоже не повлияет на распространение светового луча. Мы должны игнорировать также факт обращения в бесконечность потенциала і
в точке так как наше допущение о существовании и характере
11 Зак. № 222.138
гл. v. проблемы одной ft двух частиц
сингулярностей носит чисто математический характер. Именно для того и был разработан нами процесс „препарирования", чтобы устранить такого рода трудности из аналитического рассмотрения. Следовательно, можно рассматривать проблему распространения
і
светового луча, испущенного в точке Sj в момент времени x, точно таким же образом, как мы это делали в аналогичной ситуации в § 1 и 2. 12
Обобщим несколько преобразование (3.4) от Sft, Sft к Xs, if, предполагая, что центр тяжести движется, причем так, что в нашей
2
системе координат в любой момент времени F = O. Такое обобщенное преобразование имеет вид
F = Xs+ ^ if. F = Xs - f-if, (3.20)
V- V
и условие 2
F = O дает Х' = $-if. (3.21)
Следовательно, t
P=^f+ -^tf = Y- (3.22)
Отсюда выясняется физический смысл величины if: она предста-
1
вляет собой координаты F в системе, в которой второе тело
R= г+Z1U0
J
1
P
Фиг. 2. Расстояние R, определяемое наблюдателем в галилеевой системе координат.
покоится. Итак, движение первого тела по отношению ко второму или наоборот описывается уравнением (3.18). Световые лучи, посылаемые от двух тел, несколько искривляются и достигают некоторой плоскости, параллельной той, в которой проис-§ 4. движение вращающихся тел
139
ходит движение. Ход этих лучей изображен на фиг. 2, причем искривление луча, идущего от первой массы, обусловлено наличием второй массы и наоборот. Таким образом, если мы обозначим через R объективное расстояние, измеряемое в бесконечно удаленной системе, то получим
R =-г;(1-?\-ч—]—Ь 2—ь 2ft>- (3.23)
Таковы тривиальные изменения в формуле (3.18), причем аддитивную постоянную (а/2 также можно опустить. Как следует из рассуждений в конце предыдущего параграфа, ритм времени в галилеевой системе координат тоже будет почти таким же, как и в нашей римановой системе координат. Тем самым мы еще раз убедились в преимуществах выбранной нами системы координат. Она дает почти объективную картину движения.
§ 4. Движение вращающихся тел
В последнем параграфе гл. IV мы нашли лагранжиан для системы двух вращающихся тел. Этот лагранжиан содержал новые члены, связанные с вращением. Нам уже известны поправки к движению сферически-симметричных невращающихся тел, возникающие в пост-ньютоновском приближении. В этом параграфе будут найдены поправки, обусловленные вращением. Лагранжиан, которым мы будем пользоваться, имеет вид
¦ill ,222 12 91 2 1 2I 2
L = -L tf's* + L tf?+Л±. -4LS"(і* - і')(Sr — Sr)-f-
I 1 • J 1 2
+ -SO(Sr-Sr). (4-І)
причем МЫ пренебрегли величинами 9°71, входящими в формулу (4.21) гл. IV. В этом лагранжиане ответственны за вращение только члены пост-ньютоновского порядка. Вводя обозначения 12 11 22 12 ^ = Sr-Sr; ^xr = ^r+^sr; t*o=t*+t*;
шх 12 2 1
H-+ и
можно переписать лагранжиан (4.1) в виде
L -H^i- VV+ jT-|г SrW). (4-3)
II*140
гл. v. проблемы одной ft двух частиц
Поскольку движение рассматривается в системе, связанной с ньютоновским центром массы, то, опуская постоянный множитель, получим следующий лагранжиан относительного движения:
L'-^Y + j^l- ^rSrW- (4.4)
Этот лагранжиан инвариантен по отношению к преобразованию сдвига Времени (4.2) гл. III и по отношению к вращению
T1"- =TirA-MrsTf,
(4 5)
Srrs = SrsA-MrtSts-MstStr,
где Mrs Некоторый постоянный бивектор. Из теоремы Нетера следует