Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
РІП. — Р°гр. = const, я?ол. = 0. (7.16)
2 2 2
Затем в пост-ньютоновском приближении в силу обращения в нуль интеграла (6.10) по бесконечно большой поверхности получим
¦Рин = Полная кинетическая энергия — 2 (потенциальная энер-4
гия);
Я?р. = Полная кинетическая энергия-)-Потенциальная энер-
4
гия = const; Ppn011 = 3 (Потенциальная энергия).
4
Из выражения для Р%. мы видим, что в этом приближении 4
поверхностный интеграл от „нормальной компоненты, вектора Пойн-тинга" для гравитационного излучения в рассматриваемом случае равен нулю. Действительно, это так, поскольку
Р%. + Р%. = -^rf A0nX11 dS = 0; (7.17)
это значит, что вследствие ньютоновских уравнений движения сумма кинетической и потенциальной энергий является постоянной величиной.
Несколько длинное, но простое вычисление даст нам для P0
6
в точности выражение (4.3) гл. III, а для Pm — выражение (4.4)
5
гл. III. s 8. о свойствах инвариантности величины р"
161
§ 8. О свойствах инвариантности величины P^p.
Выясним вопрос о трансформационных свойствах Р'р- при малых преобразованиях вида
**"¦ = *"Ч-A14(X). (8.1)
Мы будем всюду пренебрегать как произведениями величин а друг на друга, так и произведениями у на а. Напомним, что, согласно (7.13), (5.15) и (5.16),
^lhf = f(-rim + r»°ls)nmdS, (8.2а)
S S
= І J Km0'^ dS = lk - Tfc01« - Tmfc10) »- dS.
(8.26)
Сначала исследуем, какие изменения вызывает преобразование (8.1) в компоненте р.. Для этого необходимо использовать формулу
Ax
g^v = g-P^^^det^p, (8.3)
в которую нужно подставить
**V = &?-beV (8.4а)
detI^=j-ov <8-4б>
Из трех последних уравнений находим (так как Й1" = v + T1") T*oo=Too+aoio_a^j( (8.5а)
^Лт—^От-aO _Uam (8.56)
Тшп = тшп _ а»|я _ оп^ь™*,„. (8.5в)
Подставляя эти выражения в (5.15) и (5.16), получаем
= + (8.6а)
К*т0¦ 3 = К"1"' ft?,p-h(8fea0, m-bmka°is)ls+(^S^0-bmkasl0){s. (8.66)
Выражения в скобках в правой части (8.6) антисимметричны по индексам т и s\ поэтому, согласно лемме, доказанной в § 2, имеем
/Г"10' "Ч, AS - //Cm0-' * AS, (8.7)
E S
или
dia _ da-
* Гр. - * гр.. 162
гл. vi. движение и. излучение
Таким образом, компоненты гравитационного импульса инвариантны при малых преобразованиях системы координат. Этого бы не было, если бы мы учитывали произведения величин 7 на а. В этом особенно легко убедиться в частном случае, когда гравитационный поток отсутствует. В таком случае при преобразовании Лоренца величины Aftz и T0a ведут себя как компоненты тензора и, следовательно, Pr р. преобразуется как постоянный вектор. Таким образом, компоненты Я*р. не инвариантны по отношению к преобразованию Лоренца.
§ 9. Гравитационное излучение и выбор системы координат
Теперь мы подходим к основному вопросу: можно ли найти такую разумную систему координат, в которой гравитационное излучение отсутствует? Иными словами, представляет ли собой гравитационное излучение, как оно здесь определено, нечто такое, от чего можно избавиться, выбирая надлежащим образом систему координат, или же оно имеет абсолютный смысл? Иначе говоря, можем ли мы найти систему координат, в которой Я?р. = 0 и Я?р. = const, т. е. в которой выполняется закон сохранения суммы двух импульсов — инертного и полевого?
Прежде чем ответить на этот вопрос, напомним еще раз определение Ягр.- Оно дается формулой (7.13)
Следовательно, можно вычислить изменение импульса двумя путями: во-первых, через выражения, линейные относительно 7, т. е. используя формулу (9.1), и, во-вторых, через выражения, нелинейные относительно 7, т- е- по формуле (9.2).
Перейдем теперь к выбору системы координат. Все допущения будут касаться лишь поведения нашей системы координат и величин 7 при г—> со, где г — „расстояние" от некоторой фиксированной точки, так что г2 = xkxk для очень больших г. Мы предполагаем, что при г—»-оо наша метрика стремится к галилеевой по крайней мере как log г/г", где а > 0, т. е.
(9.1)
Но вследствие (7.8) можно также записать
(9.2)
IrpK Aa\t)
Iogr
Г"
(9.3) s 9. гравитационное излучение и выбор системы координат 163
Кроме того, принимаем при г —»- со следующие координатные условия:
TaiL = O(^Rr). (*>0), (9^43)
Tmnln = O^). (9.46)
Нам хотелось бы обратить внимание на условие (9.46), которое отличается от условия де-Дондера Тт% —0> столь широко используемого Фоком. Результаты, которые мы здесь получим, в значительной мере обязаны выбору координатного условия (9.46). опирающегося на идеи, лежащие в основе „нового метода приближений", а именно что пространство и время должны рассматриваться различным образом; это различие и проявляется в выборе наших координатных условий. В самом деле, именно это координатное условие использовалось в ранних работах Эйнштейна, Инфельда и Гоффмана. Основное различие между настоящей работой и работами других авторов, особенно Траутмана, также состоит в том, что мы использовали иное координатное условие.
При выбранном нами координатном условии выражения для Km0'^|? принимают очень простой вид
