Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
P2 = SV, (2.20)
получаем из (1.26) связь между величинами Sft и Ek
Si=:5i(l+^), E2=S2(l (2.21а)
E3= T— т -— 2p.log 2(Гр~т) • (2.216)
Здесь ?й(т) (А=1, 2) описывает движение в плоскости (х, у). Это движение наблюдается с плоскости E3 = Const. Выясним, как связаны между собой Гит, или, точнее, промежутки
AT=T2-T1 и Ax = T2-T1 (2.22)
между двумя событиями. Тем самым мы найдем связь между объективным ритмом событий, обозначенным через Т, и субъективным ритмом, связанным с выбором системы координат. Поскольку E3=Const1 то из (2.216) следует
АГ-Лх- 2HAT--Ax) =
T — т 1 р ах v '
Так как T—х—>оо, то получаем
АГ=Дт:(і--(2'24>
10 Зак. No 222. 134
гл. v. проблемы одной ft двух частиц
Для нашей солнечной системы величина 2ji/p порядка IO-8 и скорость dp/dx крайне мала по сравнению со скоростью света (напомним, что с=1). Следовательно, пренебрегая выражениями третьего порядка, можно написать
ДГ=Дт. (2.25)
Таким образом, мы видим, что для всех практических целей можно считать, что ритм времени на объективной плоскости (X, К) такой же, как и на плоскости (х, у), на которой происходят события.
Рассмотрим теперь координаты г, ср. Мы имеем Следовательно,
^-=tg® = |i = tgcp. (2.26)
Итак, из трех параметров г, ср, х°, описывающих движение, два параметра одинаковы для плоскостей (х, у) и (X, К). Что касается г, то, обозначая проекцию г на плоскость (X, Y) через /?, будем иметь
R = r{l\ + ^-) = r-\-2V.. (2.27)
Таким образом, изменение в г тривиально и состоит в прибавлении к г постоянной величины 2[Х.
Итак, мы убедились в больших преимуществах используемой нами системы координат в римановом пространстве. Прибавляя лишь малую постоянную величину к г и большую постоянную величину к X0, можно интерпретировать наши результаты объективным образом, а именно как результаты измерений наблюдателей, которые находятся в галилеевой системе координат на некоторой удаленной плоскости, параллельной той, в которой происходят события, и получающих сигналы от событий в виде световых лучей, падающих перпендикулярно на эту удаленную плоскость.
§ 3. Проблема двух тел
Известно, что в ньютоновской механике решение проблемы -двух тел по своей сложности равносильно решению проблемы одного тела. В ОТО также оказывается возможным свести задачу двух тел к задаче одного тела, хотя это сделать труднее, чем в случае ньютоновской динамики. Это утверждение относится только к процессу нахождения решения. Что касается проблемы построения лагранжиана, то здесь имеется существенное различие между случаем задачи одного тела и задачи многих тел. § 3. проблема двух тел
135
Как и в случае проблемы одного тела, мы будем исходить из нашего общего лагранжиана, который применим теперь к случаю двух частиц. Полагая
/-2 = Ccs - - Ь tj's — Is), (3.1)
получаем следующее выражение:
Для решения нашей задачи выберем систему координат, в которой ньютоновский центр массы покоится. Такой выбор системы существенно упрощает рассмотрение. В соответствии с этим потребуем, чтобы
12 1 1 22
([* + [*) = +[*?* = О (X*). (3.3)
2 2 20 20
Иначе говоря, разложение в ряд величин Xk должно начинаться по крайней мере с члена второго порядка. Поэтому произведение величины Xk\()Xk\о на массу будет по крайней мере восьмого порядка и им можно будет пренебречь.
Введем теперь новые переменные и новые постоянные
1 2 1 2 Il
F=Y. H0==H + !*. H = VL- (3.4)
Отсюда, а также из (3.3) получим
^=JiV. =-J^fe- (3.5)
(X (X
Теперь можно выразить L как функцию от г* и их первых производных по времени. Принимая во внимание, что
г2 = Jfyf — Ь as — Is). ' (3.6)
и опуская множитель Lj\x, получаем
L + J=4W + }(l -^-)(^+1(3^+,)1 VV +
+ Y 7* (¦W+^- - T-S- • (3-7>
10* 136
гл. v. проблемы одной ft двух частиц
Лагранжиан в такой форме представляется значительно более сложным, чем в случае одного тела. Однако путем соответствующего преобразования временной и пространственных переменных его можно привести к тому виду, какой он имеет в случае одной частицы. Рассмотрим следующее преобразование:
dx° = dx'° (\ + -^j ?, (3.8а)
^=/(1+^)? (3.86)
где S, р, а, ?— постоянные, которые выбираются такими, чтобы лагранжиан (3.7) принял форму лагранжиана для одной частицы. В этой формуле
r'* = -rf'-rfr, (3.9)
а дифференцирование по х°' мы будем обозначать символом О'. Подставляя (3.8) в лагранжиан и принимая во внимание, что
L' dx0' = Ldx0, (3.10)
а также учитывая возможность умножения лагранжиана на произвольную постоянную величину, мы получаем окончательно
1 .S' I Н-о I 1 Г 1 ..І' (J-o I2 I 3fiO
L' + L' = ^-,,',o-ViO'
2 4
Г1 Ho I2 I ^O
-[а"»» Ю'7! Ю' -^rJ + •
(3.11)
, 3(X
a = 1---
Ho
Эта форма лагранжиана получается при условии, что постоянные ¦я, ?, s, р определяются соотношениями
M1
^=-H1-Irf' '=Tdt+1- <ЗЛ2>
(J-0
Выражение в (3.11), стоящее в квадратных скобках, является постоянной величиной, так как удовлетворяются уравнения движения в предыдущем приближении. Поэтому лагранжиан можно записать в виде
