Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
yiY-y = ?= const (4.6)
и
Jrs = ~ (SrtJts — SstJtr), (4.7)
где
Г = Tfrf - YY + (StrVtTls - StsTliTf). (4.8)
Рассмотрим теперь два типичных частных случая.
В первом случае мы предполагаем, что движение ограничивается некоторой областью и происходит в плоскости, перпендикулярной к бивектору Srs. Записанные в векторной форме уравнения (4.7) и (4.8) имеют вид
j = -p-[S-J]. (4.9)
J = 14-41- 1^ns -Yj]- ч] (4.10)
и в рассматриваемом случае дают
Jrs = -rfrf — rftf -J- у Srs = const, (4.11)
или
J = [ Y YJ] -J- у S = const. (4.12)
Вводя в плоскости, где происходит движение, полярные координаты г, <р, получаем
J=r^ ± , (4.13) s 4. движение вращающихся тел
141
где JnS — величины векторов J и S; знак плюс соответствует случаю, когда JhS имеют одинаковое направление, а знак минус — случаю взаимно противоположного направления этих векторов. Правую часть тождества
(-?-)2+-2 = ^^)"2. « = 7- (4.14)
можно представить в виде полинома относительно переменной и
(4?2+ = J~2 [2Е + (2*> 8 Te) "+8 т !aO"2] • (4-15)
Решение последнего уравнения в ньютоновском приближении дает кеплеровский эллипс
и = р-1[1 +SCOS(Cf-Cfo)]. Р = (4.16)
Следующее приближение дает некоторое вращение эллипса с очень малым смещением периастрона иа величину
±8*-^= ±8«-^' (4.17)
за каждый период ньютоновского движения.
Второй случай, который мы рассмотрим, это случай ньютоновского движения по круговой орбите г = а. Из уравнения (4.7) теперь имеем
J=-^-IS-J]. (4.18)
Таким образом, вектор J, перпендикулярный к плоскости движения, прецессирует вокруг постоянного вектора S с угловой скоростью
Q = ^rS, (4.19)
в чем легко убедиться, если расположить вектор S, например, в направлении оси Xі и заставить вектор J прецессировать вокруг него.
Все рассмотрение, связанное с вопросом измерения, остается справедливым также в случае вращающихся тел, так как траектория светового луча зависит только от величин A00 и А , на
2 2
которые вращение не оказывает влияния.
В заключение сделаем несколько замечаний, связанных с вопросом о корректности пренебрежения величинами д°т, определяемыми формулой (4.15) гл. IV. Конечно, они имеют тот же порядок, что и ряд других выражений в лагранжиане, и поэтому, во- 142
гл. v. проблемы одной ft двух частиц
обще говоря, ими не следовало бы пренебрегать. Вспомним, однако, положение дел. Мы имеем уравнения
f Z*?;?dx=0, (4.20)
которые при
м А А А 4
= S S-^8Ir) (4.21)
.4 = 1
определяют некоторым сложным образом величины q0m и ^r00.
6 4
Однако движение пока еще произвольно и определяется нашим урарнением
5 j Ldt = 0, (4.2,2)
варьирование в котором следует производить по Zfc. Но чтобы определить L, нужно знать Qom, а это требует решения интегро-дифференциального уравнения. Тем не менее можно найти частное решение уравнений (4.20) и (4.22). Оно имеет вид
А і А А
foo - _L Srsif
tA 4-А А
J ( Pr—yt = — \ Srs е.
В этом частном случае изложенные выше рассуждения остаются почти неизмененными. Изменится только определение величины Srs в последнем уравнении (4.2). Это значит, что в системе координат, в которой центр тяжести покоится, характер движения будет соответствовать анализу настоящего ,параграфа. ГЛАВА, VI
Движение и излучение
§ I. Простой пример
В этой главе мы покажем тесную связь между уравнениями движения и гравитационным излучением. Приступая к этой проблеме, начнем с простого, почти наивного, но поучительного примера. Представим себе (что и делалось в эпоху, предшествующую появлению ОТО), что мы ищем уравнение для гравитационного поля, согласующееся со специальной теорией относительности. Простейшим вариантом представлялось бы постулировать в качестве такового скалярное уравнение Даламбера, т. е. уравнение вида
Дал'
7j«?cp , = -4^2^8- (1.1)
A = I
Мы предполагаем здесь, что масса является функцией времени, причем
Л А А
/и =/n-J-/к + . . ., (1.2)
2 4
А
где т — постоянная величина; скорость света на протяжении всей
2
главы принимается равной единице. Чтобы определить излучение, посылаемое источниками поля, которые движутся произвольным образом, необходимо прежде всего найти запаздывающее решение. Известно, что такое решение имеет вид
л
Решение для опережающего потенциала определяется формулой То. ('¦ O = -S/ ^ + 8 {t + R,))- ^ 142
гл. v. проблемы одной ft двух частиц
обще говоря, ими не следовало бы пренебрегать. Вспомним, однако, положение дел. Мы имеем уравнения
J;r%dx= 0, (4.20)
которые при
?a? = 2 (?""&— Irafi S |г) (4.21)
.4 = 1
определяют некоторым сложным образом величины д0т и ^r00.
6 4
Однако движение пока еще произвольно и определяется нашим урарпением
5 J Ldt = O, (4.22)
варьирование в котором следует производить по ik. Но чтобы определить L, нужно знать д°т, а это требует решения интегро-дифференциального уравнения. Тем не менее можно найти частное решение уравнений (4.20) и (4.22). Оно имеет вид
А і А А
е OOsss^SrHs,
