Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
= (9-56)
как это следует из (8.2). Уравнения поля в этой системе координат также принимают более простой вид. В данный момент нас интересуют только (О, О)- и (0, ^-уравнения, и притом только при г—>оо, где тензор энергии-импульса равен нулю
K0a- 06|вЬ +A00=Ot (9.6а)
/C0a'+A0* = 0, (9.66)
или вследствие (9.5)
TT °*,„ = -А°*. (9.76)
Эти уравнения справедливы в нашей системе координат при г—>оо. Остановимся пока на втором из этих уравнений. Мы знаем, что A0k представляет собой сумму произведений . величин Yliv и их производных. Если величины Yitv имеют порядок Ijr, то их производные будут порядка- Ijr2 или еще более высокого порядка по 1 jr. 164
гл. vi. движение и. излучение
Следовательно, A0* должны быть по крайней мере второго порядка по 1/г. Поэтому может показаться, что величины A0"* способны дать вклад в поверхностный интеграл (9.2), так что Я,°р. в этой системе координат будет зависеть от времени. Однако этого не случается.
Разложим существенные выражения в A0m, т. е. те, которые могут дать вклад в поверхностный интеграл (9.2), в степенной ряд по Xsпредполагая, конечно, что такое разложение возможно,
i0m а0т u0smxs o0rnxsxp
Здесь коэффициенты а°т и т. д. являются функциями только от времени. Так как, с другой стороны, левая часть (9.76) является чистым лапласианом, то отсюда следует, что f0"* должны иметь вид
у0т = A^m log г —f— As"1 —у—(— .... (9.9)
Здесь A0m и т. д. являются функциями времени, причем такими, чтобы удовлетворялись уравнения (9.76). Но такой вид ^om противоречит нашему допущению, согласно которому у0™, как и все другие у, должны принимать на бесконечности галилеевы значения. Итак, A0m не могут содержать выражений порядка г-2, так что их разложение должно начинаться с членов более высокого порядка по 1 jr. Поэтому Prр. равно нулю и, следовательно, Р°р. должно быть постоянной величиной!
Этот результат самым определенным образом связан с выбором нашей системы координат. Такой выбор приводит к появлению лапласиана вместо даламбертиана в левой части (9.76). В случае же далам-бертиана мы могли бы взять в качестве ^om выражения порядка а/г и а/г2, что не противоречило бы величинам A0m порядка г-2.
Обращаясь к определению через поверхностный интеграл от выражений, линейных относительно у, мы видим, что
^p- = і / к'п0, V™ dS = -it / ЛлdS = ,0>
Предположим, что
4M 1
у00 = ——j-Члены более высокого порядка по—. (9.11)
Тогда, вычисляя поверхностный интеграл, получаем s 9. гравитационное излучение и выбор системы координат 172
Следовательно, M представляет собой полную гравитационную массу и является постоянной величиной.
Перейдем теперь к компонентам Я?р.. Покажем, что можно еще более специализировать нашу систему координат на бесконечности таким образом, что эти компоненты будут тоже постоянными. При этом имеется в виду, что преобразование координат, которое мы теперь осуществим, не должно изменять существенных черт предыдущей системы координат, а именно у* должны убывать на бесконечности как log г/г* (а>0), a Т*011^ и "(*тп\ п как *//"2+'1(а>0).
Для простоты сделаем еще одно предположение. Потребуем, чтобы при г—>оо компоненты у0" стремились к нулю как 1 jr. Можно было бы не выдвигать этого требования, а продолжать придерживаться нашего допущения, согласно которому ^0a убывают как log г/га (а > 0) при г —> со, однако в этом случае рассмотрение было бы несколько более сложным.
Произведем преобразование координат
х*к =r jc* + , (9.13)
где Ck—функции только от f. На этот раз мы выпишем в преобразовании if все выражения, как линейные, так и нелинейные, с точностью до членов порядка 1/г2+л(а > 0). Из (8.3) и (9.13) находим
roo = тоо _ С* (I)u+ О (^t) , (9.14а)
тл« = 7ос™ 1+0-^+0(-^-). (9.146)
= C-(I)iл_ сп (I)iт+ (I)ij+
~ои . .,от 1 / і \
_+_Ст1__+сп±_ + СтспЛ_^ Oic^y (9.14В)
Так как в (9.146) величина f001т/г по крайней мере порядка 1 jr2+a (а > 0), то видим, что при г—>оэ
v*00 і v*0m -П (_!—\ і Л
T |0 T I m- \г2 +*)'
и аналогично
Г-",« = O(^)1
так как ~fm имеют порядок 1 /г, а их пространственные производные— порядок 1 Ir2. Мы знаем, что линейные выражения в (9.14) не влияют на Р%., как было подробно показано в предыдущем
(9.15)
(9.16) 166
гл. vi. движение и. излучение
параграфе. Кроме того, члены порядка 1 /г2+% также не дают вклада в поверхностный интеграл. Наконец, поскольку в (9.56) величины if*0fe дифференцируются по пространственным координатам, то в выражениях для достаточно учесть только члены порядка 1 /г. Мы видим также, что, выражение CmCnJr2 в (9.14в) тоже не даст вклада в поверхностный интеграл, так как оно умножается на пт = хт/г и поверхностный интеграл обращается в нуль в силу асимметрии. Таким образом, при вычислении Р*р
(9.17а) (9.176) (9.17в)
(9.18)
Тогда вследствие (9.1) и (9.56) будем, иметь
Ptk=Pk -(AkCm-I- AsCk) . (9.19)
гр. гр. \ т 1J / j од 4 '
Отсюда видно, что, вообще говоря, можно обратить в нуль вели-чины Prp , не нарушая наших исходных условий. Для этого нужно решить дифференциальное уравнение
