Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Инфельд Л. -> "Движение и релятивизм " -> 37

Движение и релятивизм - Инфельд Л.

Инфельд Л., Плебанский Е. Движение и релятивизм — Москва, 1962. — 202 c.
Скачать (прямая ссылка): dvijenieirelitiv1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 65 >> Следующая


4

знать, что эта величина убывает как 1 Jr при г—»-ос.

Сделаем еще одно- замечание, связанное с историей развития проблемы. Когда уравнения движения были получены впервые в 1938 г. с помощью некоторых поверхностных интегралов, то для этого требовалось знание величин

hOO' hmn> Kn' hOO' hmn' Kn' (2-26)

2 2 3 4,4 5

причем первые три величины были нужны для ньютоновского, а три последние, значительно более сложные величины,—для пост-ньютоновского приближения. Позже было выяснено", что если использовать равенство = то необходимо знать

лишь

hOO' Knn- Kn- hOO- (2-27)

2 2 3 4

Как мы установили теперь, для формулировки пост-ньютоновских уравнений движения нам нужны такие же сведения о метрическом поле, какие в 1938 г. требовались для вывода ньютоновских уравнений движения; соответственно для пост-пост-ньютоновских уравнений движения нам необходима теперь такая информация о метрическом поле, которая прежде требовалась для пост-ньютоновских уравнений движения. При теперешнем состоянии теории мы смогли бы без особых затруднений найти пост-пост-ньютонов-ские уравнения движения, если бы это имело какой-либо физический смысл.

§ 3. Обобщение

До сих пор мы рассматривали движение сферически-симметричных невращающихся тел, которые представлялись сингуляр-ностями типа единичного полюса. В этом параграфе мы покажем, как можно обобщить принцип действия, чтобы включить в рассмотрение случай вращающихся тел, которые мы будем представлять в виде сингулярностей типа полюс — диполь в гравитационном поле.

Мы видели из формулы (1.22), что варьирование по gя9 при выполнении некоторых условий на границе приводит к уравнению

8 / Vr^s0 dx = ~ f -T ^k) 8^?<3- 118 гл. IV. ВАРИАЦИОННЫЙ принцип и уравнения движения

Следовательно, вариационный принцип

8 / V^g G - tog.tf*9) dx = 0 (3.2)

(где с= 1 и гравитационная постоянная &= 1) даст уравнение гравитационного поля при условии, что Ja^ не зависит от g .

Используем теперь (3.2) как определение уравнений Лагранжа и будем варьировать лагранжиан по Рассмотрев в качестве примера случай простых сингулярностей, т. е. положив

N Aa а А

<Г3=2цИр&. ё» = SV (з-з)

a=i

мы в самом деле получим правильные уравнения движения, совпадающие с уравнениями (7.8) гл. I, если будем рассматривать ja как некоторую известную функцию времени. Следовательно, можно и в общем случае считать, что вариация (3.2) дает нам правильные уравнения движения, конечно, при условии, что Jkl^ не зависит от O-^v и что а является функцией времени, которая определяется дополнительным уравнением J-fl^p = 0. Можно ожидать, что таким способом нам удастся получить также правильные уравнения движения в случае сингулярностей типа полюс—диполь, которые представляют вращающиеся тела и описываются выражением

^AA і А

= S O^3S — tra:i 8,г). (3.4)

A= 1

§ 4. Лагранжиан типа Фоккера для вращающихся тел

Нашей целью является получение лагранжиана типа Фоккера, который приводил бы к пост-ньютоновским уравнениям движения вращающихся тел. Тела характеризуются теперь набором A3 А

параметров t04 и trafi. В согласии с общими рассмотрениями в гл. III разложение этих параметров в ряд должно начинаться для (а, ?)=(0, 0), (а, ?)=(0, г) и (а, ?)=(/\ s) с величин порядка 2, 3 и

А

4 соответственно. Однако t дало бы вклад в ньютоновские

2

уравнения движения через посредство A00. Чтобы избежать этого

2

А

усложнения, будем начинать разложение tm с члена третьего порядка. J 4. ЛАГРАНЖИАН ТИПА ФОККЕРА ДЛЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛ Ц9

Плотность тензора энергии-импульса (3.4) не приведет непосредственно к точному лагранжиану. Предварительно нужно вы-

А 3 А і

разить коэффициенты t и tm? через Ea и i* jo- Это можно сделать, используя уравнения

M

- (А.->+> {;„}+г?-» {;„}+

А ., і а 1 \ -A AA А А

( + C"V10-O »I

(4.1)

интегрируя которые по трехмерным окрестностям сингулярностей, получим

A AA

f + +

д 10 0 J ' (Or)' (/-Sj1

A AA

-Mrt0Ion) + { ; \ + M M =0, (4.2)

1 IOOjtr 1 Vs0Mr ' і S і Hr

А

А

(4.3)

А

J (ХГ — ?Г) (X^ — Ъ 3:a?; 3 rfX =

A 2

= + —— tsw =0. (4.4)

Уравнения (4.2) с a = Q дают в третьем порядке

= J10 = O. (4.5)

з 3

Аналогичным образом (4.3) дает

Z0r = Jri0l (4.6)

3 2 120 ГЛ. TV. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП И УРАВН. ДВИЖЕНИЯ

а (4.4) дает Вводя обозначение получаем из (4.7)

3 А „ 3 = 0. (4.7)
_^fsOr _ а .4 3 (4.8)
rOs _ А — і*°г 3 1 ~~ 2 А Srs. 3 (4.9)



А

Здесь Srs следует интерпретировать как ньютоновский собствен-з

ный угловой момент Л-го тела, поскольку эта величина равна выражению

-tr) Xos-(Xs-^)ZorIdx. (4.10)

M 3 3

А S

При а= т уравнения (4.2) в четвертом порядке дают ньютоновские уравнения движения. Уравнения (4.3) и (4.4) при а= т. дают в четвертом порядке

A AA А

/"" = ^fVV (4.11)

4 2

-Smrl0 = O (4.12)

з і

и

А і A A AA

trst = 4 10+ Sr^sIo). (4-13)

4 З З

Уравнения (4.12) показывают, что, как и следовало ожидать, ньютоновские собственные моменты сохраняются. Подытожим полученные результаты: в рассматриваемом приближении вращение
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 65 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed