Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Инфельд Л. -> "Движение и релятивизм " -> 35

Движение и релятивизм - Инфельд Л.

Инфельд Л., Плебанский Е. Движение и релятивизм — Москва, 1962. — 202 c.
Скачать (прямая ссылка): dvijenieirelitiv1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 65 >> Следующая


Если потребовать, чтобы лагранжиан Фоккера был инвариантен, кли, точнее, чтобы была инвариантна вариация S (Ldx0), а также чтобы он зависел только от х°, 5 и Siо. то возможности выбора выражения для него становятся крайне жесткими. Предположим, как это делалось ранее, что

S01B = ^e 5в,„). 0-15)

Поскольку мы хотим, чтобы в уравнениях движения появлялись только вторые производные величин I* (х°), то нужно по возможности избегать высших производных от Эти требования по существу ограничивают наш выбор выражением

L"= fV^^Gdx, (1.16)

а(3)

где

O=WlpHeH pWeD <1Л7>

Ч W J I HP j I H^ M P0 і /

и интеграл распространяется на все трехмерное пространство. Если записать вариационный принцип

Sjdx0 J yr~g G rfx = 0, (1.18)

• х'° - 2,3) по гл. iv. вариационный принцип и уравнения движения

то легко видеть, что левая часть этого уравнения является инвариантом, так как ]/ — g G отличается от У—g R только слагаемым, которое может быть представлено в виде четырехмерной дивергенции.

Сначала мы варьируем У—gO по Это дает

-Ь*f^r"^+ IiWls*-'** •(іл9)

Jf'0 -V) а*3)

Здесь Z(2)—бесконечная двумерная поверхность, охватывающая все трехмерное пространство. Далее, вариации величин g^ обусловлены варьированием входящих в них величин ? и aj|o- Мы получим

bUs+ Sg- Bj 8І' (1.20)

В силу нашего предположения об обращении в нуль на концах временного интервала величин и их производных по времени последний интеграл в (1.19) равен нулю. Однако с поверхностным интегралом дело обстоит иначе. Попробуем сделать допущение, что этот поверхностный интеграл просто равен нулю,

г. е. потребуем выполнения условия

J ? = 0і

J 0Sotp Ii -(2)

где оga? определяются формулой (1.20). Из изложенного в гл. I, § 4 следует известная формула

V aga?(l V 2s /

aa a a = = 8^2^^,0^1()8. (1.22) S 1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ'

111

Таким образом, учитывая выражение (1.20) для Sg"^' получаем "0

х AAA *

О f L" dx о = ? 8* { ,0

'0 А, В

X

АЛ, А А. ч ^B V-, лЛ, А А„ В

¦(К^РЫ'М ^ + S ^fr10S" о«Р.о8Ґ

1 А, В 1

.«0

(1.23)

Последний член здесь снова равен нулю вследствие произволь-в

ности 85. Таким образом, мы снова пришли к неверным уравнениям движения, а именно:

оP ,0 - J 0^' оV= (1 -24)

А

Наше длинное доказательство почти завершено. Мы замечаем, что с точностью до множителя - 112 это в точности те выражения, которые привели к трудности в уравнении (1.14). Итак, взяв линейную комбинацию этих двух лагранжианов и потребовав выполнения условия (1.21), получим правильные уравнения движения.

Подведем итог изложенному. Можно получить уравнения движения третьего рода из лагранжиана

А ААА

Z. = -(^p?" і О^ю)''' +-i^f f V^jGdX, (1.25)

A Q

(3)

где

с-ишиьи,}{;л)- °'2б>

Для того чтобы из принципа действия

х"0

о J Ldx0 = 0 (1.27)

X'0

получались правильные уравнения движения, необходимо, чтобы вариации величин sa и обращались в нуль на концах времен-нбго интервала, а также чтобы выполнялось условие

fdl a^0Mgrt = O- (1.28)

J 0SaB і S 112 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Мы получим дифференциальные уравнения второго порядка для 3Af

А

величин. 5 "(jc°).

Величины Jl вводятся формулой

J = (1-29)

которую мы рассматриваем как определение инертной массы, фигурирующей в определении J"^,

J"3 = SjtvVs. (1.30)

А

Таким образом, если только выполняется условие (1.28), можно, используя определение (1.25), найти лагранжиан,. который применялся в предыдущей главе без указания способа получения; при этом, конечно, необходимо проверить, выполняется лиусловие (1.28). К этой задаче вычисления лагранжиана мы и переходим.

§ 2. Лагранжиан вплоть до членов шестого порядка

Вычисление лагранжиана вплоть до членов шестого порядка не встречает никаких затруднений. Однако при этом возникает одно удивительное обстоятельство — оказывается, что для вычисления такого лагранжиана нам нет необходимости знать величину A00. Достаточно знать только величины A00 и A0m, расчет

4 2 3

которых, как мы знаем, не представляет труда. Фактически единственное затруднение при выводе уравнений движения шестого порядка или уравнений движения вплоть до членов шестого порядка из факта равенства нулю выражения J-a^ состоит в нахождении A00.

4

Теперь нам не нужно уже этого делать. Единственное, что необходимо знать о величине A00, это то, что она убывает на беско-

4

нечности как 1 jr. Но в этом можно убедиться и без вычисления A00

4

в явной форме (хотя этот результат нам уже известен из гл. III, § 2). Действительно, A0O|SS может зависеть только от величин 4

^00100 = ^100' <Р|,?|,. <Р,„<Р- (2-

2.

11'

Но величины и .cp|JS<p при г.-г*- со имеют по крайней мере

порядок —4 по г и, следовательно, их вклад в A00 по крайней § 2. ЛАГРАНЖИАН ВПЛОТЬ ДО ЧЛЕНОВ ШЕСТОГО ПОРЯДКА 113

мере порядка —2 по т. Рассмотрим теперь вклад, даваемый величиной св[00. При г—>ео мы имеем для ср

А А

Вследствие ньютоновских уравнений движения ф|00 является величиной rio крайней мере порядка —3, и поэтому вклады, обусловленные этим выражением, по крайней мере порядка —1 по г. Как будет видно из дальнейшего рассмотрения, это обстоятельство обеспечивает обращение в нуль поверхностного интеграла (1.28), что являлось условием существования такого лагранжиана. Заметим, между прочим, что A00 и A0m также являются величинами по-
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 65 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed