Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
как изменение в системе координат.
Наконец, мы должны рассмотреть уравнение порядка Z —|— 1
для Y0"1 т- е-1+1
К0а'пЬ \аь + К 0а'п0 |?г0_|_ д/ ( ©°») 4- SuJ-0" = 0. (5.51) 1+1 1+1 1+1 1+1
Снова, согласно (5.196), только fc0a'nb содержит неизвестные
1+1
величины Y0"- С другой стороны, в соответствии с (5.19в) Ka' \ао 1+1 і+! содержит ТОЛЬКО ЧТО вычисленные величины утп И Y00- Обозначим
I I
Q0n = — N (®0п) — 8 Itfn. (5.52)
1+1 1+1 1+1 80
ГЛ. II. МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Тогда, вводя уже вычисленные значения для у""1 и у00, т. е. (5.47)
і і
и (5.50), и учитывая (5.19) и (5.186), имеем
1 / „0л I hn \ 1 / Oct , »et \ о°л і 1 *00 /е гол
9" Т +o|0) — 9-( т + b ,о\ =2 -jTTl ю«- (5.53) г Wi г-н Jlss г Wi 1+1 }1а„ 1+1 iIi
Здесь необходимым условием для того, чтобы уравнения имели решение, является исчезновение дивергенции от правой стороны, которая включает уже известные функции. Иначе говоря,
Q0ri |Л+ 2°°|о = 0. (5.54)
i+i i+i
Позже мы обсудим это условие, а сейчас просто будем считать, что оно выполнено.
Обозначим теперь через у*0п любое частное решение уравнения
г-н
JL v*0л,__L VfOs1 - 00/I_J__Lv*00 /К
i+i г+і '+1 ' і
Тогда
ft»|0= т*°" + Ь\п (5.56)
г-н i+i г+і i+i
(где D0 — произвольная функция) есть снова общее решение (5.53). 2+1
К последнему уравнению можно легко добавить условие
v*0a - „*0л _4_ v*0° _ П (К ^7^
ill 1 \ ч с '
Если оно не выполнено, можно найти другое частное решение
т»*ол_ т*ол_)_ _ (5.58)
i+i i+i [+1 [п
удовлетворяющее этому условию. Необходимо только выбрать Ь
1+1
так, чтобы оно являлось решением уравнения Пуассона
AsO __ v*0n _ ~*00
" |n» і |л і 10"
i+i i+i г+і
Для у*011, удовлетворяющих (5.57), уравнение (5.56) снова превращается в чистое уравнение Пуассона
f0mlss = 2Q0m- (5.59)
i+i г-н § 5. МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИЙ И УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ
81
Как и прежде, можно интерпретировать (5.56) как некоторое преобразование координат.
Подытожим кратко содержание этого параграфа. Прежде всего мы показали, что, выбирая простую систему координат, можно начать разложение с ^001 у0п, утп. В таком случае можно продол-
2 3 4
жать разложение неограниченно, предполагая, что условия интегрируемости, определяемые уравнениями (5.38) и (5.54), выполнены. Можно находить постепенно частные решения, решая только уравнения Пуассона. Затем можно найти общие решения, добавляя соответствующие произвольные функции. Это добавление может быть интерпретировано как переход от специально выбранной к произвольной системе координат. Конечно, мы не знаем, сходится ли такой метод приближений, а также не знаем, хорошо ли он ведет себя на бесконечности.
Мы показали, что всегда можно найти такую систему координат, что разложение начинается в соответствии с (5.29). Но можно показать и больше; можно показать, что при выборе соответствующей системы координат будем иметь
Т00 = Т00 4_Т00_|_Т00 4_ . . . _ (5.60а)
2 4 5
= Y0rt -}- T0" —Ь T0ra -t- • • • ¦ (5.606)
3 5 6
^mn ^ ^mn ^mn _j_ ^mn _ _ (5.60в)
4 6 7
Это легко показать в аспекте сиигулярностей поля. В самом деле, поскольку [л = 0, соответствующие J^0, J*"1, Jimn исчезают.
3 3 4 5
Кроме того, исчезает N(Qb00)t так как эта величина — по крайней
з
мере четвертого порядка. Величина N (®0п) также обращается
4
в нуль, так как единственный вклад в это выражение могли бы внести выражения типа Т00|оТ00|Л' являющиеся выражениями пятого
порядка. Величина N(®тп) также исчезает, потому что единствен-
5
ный вклад в это выражение могли бы дать величины типа T0mIoT00Ira'
4 2
которые имеют по крайней мере шестой порядок. Если мы хотим получить пост-ньютоновские уравнения движения, то для практических рассмотрений представляет некоторый интерес только исчезновение Y00.
3
б Зак. № 222 82
ГЛ. II. МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
§ 6. Две формы уравнений движения и условия интегрируемости
Теперь вернемся к общей теории. Напоминаем, что снова в аспекте сингулярностей поля уравнения движения А-й частицы имели вид
fr%rfx = 0, (6.1)
с dsA J А S
А
где Q—малая окрестность, окружающая А-ю сингулярность. Эта форма непосредственно выводится из символического уравнения
?a?;? = 0, (6.2)
представляющего собой следствие уравнений поля и тождеств Бианки. Будем рассматривать последнее уравнение как уравнение движения в случае непрерывного распределения материй и произвольного тензора энергии-импульса.
Теперь введем другую форму.уравнений движения, исторически предшествовавшую первой; фактически именно из этой формы (которую мы введем теперь и к которой вернемся в последней главе) берет начало разработка уравнений движения в ОТО.
Напишем уравнения поля ОТО, согласно (5.18), в форме
= Kiia- пЬ\ab + Kva- Л 06 + К*"' nVo +
+ /С^ оо+ ^((55^)+8^ = 0. (6.3)
Теперь продифференцируем последнее уравнение по хп. Вследствие структуры первых двух членов в правой части их производные исчезают и остается
