Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
в ab \ia(.sir в i" ..
v ab bc rbc rca - ca rab / aa
» - f**
в, C § 3. УРАВН. ДВИЖЕНИЯ в ПОСТ-НЬЮТОНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 10Г!
Это — окончательная форма уравнений движения для N частиц' в пост-ньютоновском приближении.
Очевидно, что в выражениях шестого порядка, которые не со-
'."¦¦' . «
держат не имеет существенного значения, будем ли мы брать \ 2
As As As.
или 5 -j-i . Величина с появляется только в выражениях
2 2 ;
Гґіоо^fts (г ab) АА -htS(rAs)A J. (3.31)
¦ 4 В L2 I Pfa 2 ISeSjJ
Все другие выражения уже известны из ньютоновского приближе-. ния. Следовательно, мы имеем 3N дифференциальных уравнений
которые определяют 3N неизвестных ї.
2
Раньше мы упоминали о различии между уравнениями движения некоторого определенного порядка приближения и уравнениями движения вплоть до этого порядка включительно. Здесь мы следовали теории и методу использования уравнений движения для каждого определенного порядка приближения. Теория, которая имеет дело с уравнениями, записанными с точностью до членов соответствующих порядков включительно, требует использования дипольных полей. Однако, как было упомянуто ранее, дело обстоит значительно проще, если мы не пойдем дальше пост-ньютоновского приближения. В этом случае имеется только одно условие интегрируемости
<Г°% = 0, (3.32)
5
которое определяет [д.. При надлежащем выборе это условие
4 4
интегрируемости будет выполняться. Следовательно, игнорируя ньютоновские уравнения движения, можно записать уравнения движения вплоть до членов пост-ньютоновского порядка приближения. Эти уравнения имеют вид
J--71?.,+ JrnK^Q. (3.33)
¦ 4 " 6
Неизвестными функциями здесь являются величины
А А А .
^ = (3.34)
0 2 102 гл. III. НЬЮТОНОВСКОЕ И ПОСТ-НЬЮТОНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
так что, интегрируя уравнения (3.33), сразу получаем закон движения вплоть до членов пост-ньютоновского порядка. Так как не-
A А
существенно, возьмем ли МЫ ИЛИ Bs В (7*"1%, то это выражение
6 6
можно считать известным, если мы знаем решение ньютоновских уравнений. Таким образом, вводя
д- л. ш 9 A _ A A ^4 А
j-00+j-00 = 2^ + 2^. S = S(X-I),
2 4 А 2 А 4
можно записать уравнения движения вплоть до членов шестого порядка в виде
- ,A I AA A vV-4"5 _
(V + у Si Ssю-ь 3 2j V-VABpa|0 —
B AB[k і B 10
vl'^i / А А о B B ABx .
W 1 + 1-^,0^,0 + 1^10^,0-4^,0^,0)(^)4 + B 1
I AB Ar B j A? A ?/_2^
+ 2" -L * ^^[O^IOT A JJ +2 >, P У- (и- -t-|A) [rAB) A A-Z 2 AB\%a4sfT 1 Iia
42^(++++++++),,
B^c V AB BC BC CA CA AB '\ia
Эти уравнения могут быть получены из лагранжиана. В самом деле, их можно записать в виде
(ІАа ) -1A = 0' (3-36)
\ I6 10/10 |Еа
где L = L-^-L и
4 6
і » AAA і AAA
А А
,/AB , A A BB V1MB ,AB
3 1 , <; s 1v"^ i s s
+ p'ka?^v^fo+s' о;5 і о) — 2 2j wrABts,OislO —
А, В А, В
г 2j Wab aCbJ 10+2"^ ^ab-T Zi V-V-{^ї) г ab -
А, В ^lt ' А, В А, В
— W 21 ^wirмгBC-sTгвсгса-{-ГСАГАВ)- (3.37) § 3. УРАВН. ДВИЖЕНИЯ в ПОСТ-НЬЮТОНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 10Г!
Это, конечно, не является каким-либо удовлетворительным способом получения лагранжиана, так как существование последнего представляется случайным и не обосновано теоретически. К этому вопросу мы вернемся в следующей главе.
Имеется еще один вопрос, который нам хотелось бы коротко обсудить, не прибегая к детальным расчетам. При нахождении уравнений движения мы использовали наши „хорошие" 8-функции и поэтому не имели вкладов от членов самодействия. Это происходило по той причине, что в соответствии с нашими правилами мы полагали
А А
ШАА = Jdx Jrfx'lx —х'Г1 S(x-I)S(x7-I) = O. (3.38)
А
Я
Возникает вопрос: изменится ли результат, если мы не будем считать величины шАА равными нулю? Чтобы дать точный ответ на этот вопрос, нужно было бы подробно исследовать переход от непрерывного к дискретному распределению. Мы не будем приводить здесь эту довольно сложную и длинную процедуру. Ее результат почти очевиден. Предположим, что мы начинаем с капель, имеющих размер I. Тогда пост-ньютоновские уравнения движения центра масс каждой капли тождественны с точностью до О (I) полученным здесь уравнениям (3.35) и (3.33). При 1—>0 будут иметь место также дополнительные сингулярные выражения порядка Однако они дают только вклад в массу порядка р.2//. Так как [л. представляет собой гравитационный радиус капли, то получим поправку к массе порядка
/ . Гравитационный радиус\ _
^ \ ' Размеры )' ^ ' '
Эта величина не наблюдаема, так как она появляется только в качестве аддитивной постоянной.
Вернемся к вопросу о том, что произойдет, если величины шАА не равны нулю, иными словами, если мы будем пользоваться не нашими „хорошими", а иными S-функциями. Ответ таков: в этом случае следовало бы применить перенормировочную процедуру подобно тому, как это делается в квантовой электродинамике. Можно показать, что теория является перенормируемой. Таким образом, используя наши „хорошие" S-функции, мы тем самым избегаем процесса перенормировки. 104 гл. III. НЬЮТОНОВСКОЕ И ПОСТ-НЬЮТОНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
