Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
Хотелось бы теперь выяснить, как ведет себя H00 на (про-
4
странственной) бесконечности (при условии, что ао|о здесь стремится к нулю). Если предположить, что вся материя заключена внутри некоторой сферы конечного радиуса, то все выражения, за исключением второго, очевидно, стремятся к нулю. Таким образом, лишь выражение -
/
dx' I x — x' IJ1'001 оо (2.26)
2
нуждается в более подробном исследовании. В связи с этим напомним условие интегрируемости для у0", которое, согласно
3
нашему предположению, должно выполняться
-Jl00IO = J^I S. (2-27)
2 1 3
Следовательно, (2.26) можно записать в виде Xl / dx'r^so—J dx'x'*x'*r
1 XkX1
2 Ixi
/ dx'*'Vj-'V + • ¦ • • (2-28) 94 гл. III. НЬЮТОНОВСКОЕ И ПОСТ-НЬЮТОНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Первый член обращается в нуль, так как J*'0s равны нулю вне сферы конечного радиуса; третий и четвертый члены стремятся к нулю как 1/|х|. Второй член можно записать в виде
- ТТЛ / + I^T / (2.29)
В этой сумме снова первый член равен нулю, и нам остается рассмотреть только выражение
f JmlOdx'. (2.30)
Потребуем теперь, чтобы, кроме условия интегрируемости (2.27), выполнялись также ньютоновские уравнения (1.4). В этом случае, используя снова то обстоятельство, что Jm^ обращается в нуль вне конечной области, будем иметь
f J-^lo dx' = f dx'f dx"r00J"'00(T~^)^0. (2.31) Мы видим, что величина A00 на бесконечности обращается в нуль,
4
но только в том случае, если выполняются ньютоновские уравнения.
§ 3. Уравнения движения в пост-ньютоновском приближении
Мы предполагаем, что ньютоновские уравнения выполняются. В самом деле, уравнение с индексом нуль должно выполняться, потому что оно представляет собой необходимое условие интегрируемости, Другие уравнения также должны удовлетворяться, если мы хотим, чтобы величина A00 обращалась в нуль на беско-
4
нечности. Поэтому пост-ньютоновские уравнения движения могут быть записаны в виде
J0V = 0, J""?;? =0. (3.1)
S 6
В соответствии со сказанным в предыдущей главе эти уравнения следует рассматривать как уравнения пятого и шестого порядка для динамических переменных в пост-ньютоновском приближении, от которых зависит J"1®. Кроме того, Jn^ может также зависеть от метрического тензора. § 3. УРАВН. ДВИЖЕНИЯ в ПОСТ-НЬЮТОНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 10Г!
Выпишем сначала первое из этих уравнений:
Г>»+Г»+!оо}Г+2фГ-
=^,0+^.+1^5-00+?!"'=
-(f+ytf"),+(Г+іЛ+Ьі-Г=0- (3'2)
1
Так как
се= — 2 Tdx7J-vooIx — x'j-1, (3.3). J 2
то оно принимает вид
-^/00^00 \ / - ^/oot-os \
(г - I^r),.-
Обратимся теперь ко второму уравнению (3.1):
2 4 3 2
(3.5)
Входящие сюда символы Кристоффеля имеют вид
2 { Os } = Sl m ~ S1* 5^cpI0' (3'6)
3 .id
{лші 2 (^пгл?! a ^natPlm ^mdcPln)' 2
Подставляя вместо величин h их выражения (2.11) и (2.25), используя затем ньютоновские уравнения движения и имея в виду, что ср представляет собой интеграл (2.16), получаем
э = (<Г0 - срГ0 - 4 Г dx'J-00J"*01x - x' г1) +
6 \5 3 J 2 3 /|0
+ (сTab - T^a6 - 4 J dx'Jb0J'aQ IX - X' Г1) 6 + -W01J+ fdx> f dx"[x, к', х"} J100J1fu0J"00-
33 JJ ' 222
-I/dx'|x-x'||af0;of°°. (3.7) 96 гл. III. НЬЮТОНОВСКОЕ И ПОСТ-НЬЮТОНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
где снова
[X, х', х"] = I X —X' I |х' —X" I + I X' —X" I I X--X I +
+ I X" — X I |х-х'| • (3-8>
Так как относительно конкретной формы Jm^ не было сделано никаких предположений, то эти уравнения являются общими уравнениями пост-ньютоновского движения. Отметим одно интересное обстоятельство: величина ад в них вообще не появляется!
3
Это объясняется тем, что а0 входит в h0n и A00, но не содержится
3 3 4
В комбинациях 1/2?І00\т-Лот I 0 И /ion I т-Лоті л. КОТОрые ТОЛЬКО
4 3 3 3
и фигурируют в наших ,уравнениях.
Прежде чем перейти к двум другим аспектам, приведем уравнение (3.7) к несколько более удобной форме. Мы ВИДИМ, ЧТО под знаком интеграла у нас выступают только сами величины Jllv, за исключением последнего выражения, в котором появляется производная (/'00J00- Однако мы можем преобразовать это выражение следующим образом:
_,00_ / _-/00 _Ю0\ _-,00 Т®0 _
V IOO^ -\<J |0V JlO d IO-
=-V0su, Т. (3.9)
Индекс дифференцирования s' может быть перенесен (с изменением знака) на функцию |х — х'||а, стоящую под знаком интеграла. Процедура подобного рода, правда несколько более сложная, может быть проделана и с индексом дифференцирования г. В результате получим
-4/**' ix-x'i, ^'oV00=-IK/i^u^vV
-4 (/ Л' IX - X'I1 +і / л' Ix- х' I1-^rtVr.
(3.10)
Итак, мы можем написать окончательно наше общее уравнение (3.7) в несколько измененной форме, более удобной для § 3. УРАВН. ДВИЖЕНИЯ в ПОСТ-НЬЮТОНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 10Г!
практического использования:
Ijta0 — 4 {dxr Ix-Xr Tf0aJ**+ 2 f dxr \ x — xrJlr^Jl0a —
\5 J з 2 J 2 3
+ (Jab-4 Г dxr\x-Xr^Jr0aJob +
\б J 3 3
+ 2 /dx' IX — X'Г1 Jr00Jab — ^ jdxr\x — xr\lac, J'0Cfb)\b ~ + (j"00 + J*0 - +
4 4 2 3 3
+ C dx' fdx" [X, X', X"l, a J00Jr00J"00 + j J 1 " 2 2 2
+ ^dxr IX-XrIl ab,c JrobJxic = 0. (3.11)
