Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
8+ І^о+К^Ллоо+МФ1"),,,=^. (6.4)
Эти четыре уравнения получены из уравнений поля, которые, как мы предположили, выполняются. Своей формой они обязаны структуре уравнений поля.
Также вследствие структуры уравнений поля, выражающейся тождествами Бианки, в случае выполнения уравнений поля мы получаем уравнения движения
+^0IO + {Гр}ГР==0- (6"Й>
Эти два уравнения тождественны по своему физическому содержанию. Оба они представляют условия, которые должны быть выполнены; оба они являются различными выражениями уравнений движения. S в. ДВЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
83
Разобьем (6.4), выписывая отдельно уравнение для [л = т и
ДЛЯ [A = O
Svfmnln+Kma' + т0, л%„о+/Г°' "Voo+A/C®""), „ = 0, (6.6а)
8^0V+ /C0a' л01а„э+ N (®0n),в = 0. (6.66)
Если бы под первым уравнением было написано I, а под вторым /+1, то это были бы в точности условия интегрируемости, которые упоминались в предыдущем параграфе в (5.38) и (5.54). Таким образом, существует очень тесная связь между уравнениями движения и условием интегрируемости. Но имеется еще один вопрос, на который осталось ответить: каким образом можно разбить уравнение (6.6) или (6.5) на части, соответствующие различным приближениям? Этот вопрос был существенным камнем преткновения в работе Эйнштейна, Инфельда и Гоффмана. Казалось, что разбиение уравнений движения дало бы бесконечное число противоречивых уравнений. Чтобы ответить на этот вопрос, или, скорее, найти один из возможных ответов, мы должны углубить наш процесс приближения.
Поскольку нам более привычна форма (6.5), чем (6.6), будет лучше объяснить этот процесс для уравнения J^a'3; р=0. Чтобы по возможности упростить ход идей, остановимся на случае син-гулярностей поля. Мы знаем, что, интегрируя по малому объему вокруг А-й сингулярности, можно получить уравнения в виде
А
/AA \ А А А
JLr U о) + V. { * } S" ,0^ і о = о, (6.7а)
А
(6.76)
Теперь выделим в (6.7а) все выражения порядка I. В (d/dx°) они имеют вид
A Ak Aa А лк А лк А Ак
SaIO S Ю+Р S 100 +Pio ? ю + Р ? 100+ • • • + M Ю- (6.8) З1 /-3 2 1-2 5 г —5 4 1-4 I-11
Во втором выражении мы будем иметь в самом низшем порядке:
А—. __А
00 00 / а
IiT I ft с у {X , S )¦
2 2 2
А
Так как 700 зависит от она также будет содержать вклады вплоть 2
А
до порядка L Они появятся из разложения Ea в f00. Так как [AT00,,,
2 2 2 1
5* 84
ГЛ. II. МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
А
является величиной четвертого порядка, то нужно разложить до порядка / — 4. В других выражениях в (6.7а) необходимо
А
разложить до порядка, меньшего I — 4.
Следовательно, выражение наивысшего порядка, появляющееся
А
в ^k, имеет порядок I — 4. Поэтому можно теперь рассмотреть уравнение
А
н AA А . у ч А А
(б.9>
і і
А
как определяющее Sjft. Это значит, что уравнения движения можно
I-4
подразделить по различным порядкам, каждое из которых позволяет вычислять движение с возрастающей точностью. Уравнения движения порядка I позволяют вычислить движение с точностью до порядка I — 4. Таким образом, если положить I = 4, то имеем уравнение для Sft1 которое является ньютоновским движением. По ласі
гая I = 6, имеем ?ft, т. е. пост-ньютоновское движение.
2
Что можно сказать теперь об уравнении порядка 1
(6Л0)
і+1
Это уравнение просто дает [л! Если мы возьмем порядок / +1 =3,
і
то получим просто [A = const, а для 1-\~ 1=5 получим первое 2
дополнительное, неньютоновское выражение.
Таким образом, мы видим, что можно расчленить уравнения движения и получить движение с возрастающей точностью. Необходимо допустить, что та же самая ситуация справедлива в случае произвольного тензора энергии-импульса. Здесь имеется динамическая характеристика Aa, играющая такую же роль, какую ^ играет в аспекте сингулярностей поля. Она может быть также найдена с возрастающей точностью с помощью процесса приближения.
Все, что было сказано в отношении уравнений движения, непосредственно применимо к условиям интегрируемости. Они определяют ?ft и [а. Это можно видеть из (6.6а), если мы напишем I
I-4 I
внизу
8<ГЛ1 „ + Кта' т0> лв,апо+К"10' n0lnoo+N(®тп),Я=0. (6.11 >
Il I I § в.. ДВЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
85
В Jimn самый высокий порядок есть I — 4: і
H AA AA
Jlmn=It^mIO еп|03+ •••• (6.12)
I A = 120 lt-4 1
Подобным же образом в у, появляющихся в К и ^m должно
4
быть разложено вплоть до порядка I — 4. Следовательно, мы имеем точно такую же ситуацию, как и прежде.
Итак, условия интегрируемости есть уравнения движения, разбитые подобно уравнениям поля. Они позволяют нам определить движение с возрастающей точностью.
Процедура, описанная здесь, вообще говоря, не необходима, если мы не идем дальше пост-ньютоновского движения. Эта процедура несколько „грязновата", так как она смешивает разложение у с разложением ? или в общем случае с разложением А.
В первоначальной работе Эйнштейна, Инфельда и Гоффмана была использована другая процедура. Авторы настоящей книги позже усовершенствовали ее и назвали дипольной процедурой. С практической точки зрения она мало полезна, но теория, построенная с ее помощью, более изящна, чем данная сначала, гак как она избегает разложения самого движения. Мы вкратце опишем использование дипольной теории, не приводя детальных расчетов.
