Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
3
вращаясь еще раз к (5.18в), мы видим, что первая Imra1 которая может быть отличной от нуля, есть так как д-т0'"6 |6Cj д""0, га0 |00,
4
N(®mn) и Jmn начинаются с четвертого порядка. Таким образом, при соответствующем выборе системы координат можно положить: тоо= тоо_|_тоо_|_тоо_^________(5.29а)
2 3 4
тоП= т0л + . _ .; (5.296)
3 4
Tm"== Tm"+ ••• • (5.29в)
4
Учитывая (5.5), это вызывает следующее разложение А:
A00=A0O-HA00-HA00 + ..., (5.30а)
2 3 4
A0" = A0" +A0" + ..., (5.306)
¦ з 4
hmn = hmn hmn hmn ; (5.30в)
2 3 4
где
A00 = -A00=It00, Amra =-Am„ = 4 SmV0, A0" = A0n = T0"-
2 2 2 2 2 2 3 3 3
(5.31)
Следовательно, мы знаем, как начать нашу процедуру приближений. Следующий вопрос заключается в том, как продолжить ее. Допустим, что
^ooi ^ooi i ^oo- ^m" ттга, , Tm"' T0"' Т0л> ¦ •> T0" (5.32)
2 3 I-1 4 5 I-1 3 4 I
известны. Вопрос заключается в том, как найти чтп, у00, T0ra-
і і 1+1
Будем искать у в том порядке, как они были только что выпи- § 5. МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИЙ И УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ
77
саны. Напишем уравнения поля ОТО в 1-м порядке, начиная с уравнения, соответствующего (5.18в":
ISта, пЬ і jy-mQ.nb . j^ma,tO і ту-тО, пО , Л I ab ~~г" A IOb -г" A IaO I- А |00 -f-
I 1-І 1 1-І 1 1-2 2
+ (5.33)
і
величины fmn присутствуют только в первом выражении. Все дру-
I
гие известны. Действительно, N(Qgmn) может содержать f главным образом до I—2 порядка. А теперь несколько слов о Jimn. В слу-
I
чае точечных частиц в соответствии с (3.5) имеем
N А
^r-, AA A A A Amf , dx°
Jmn=Ii^riotA 0. *=Чг-5Г- (5-34)
a = 1 ^4
Теперь [см. (3-7)1
(X = {i-f-{i-f p.-f- ....
.2 3 4
Однако если мы начинаем разложение h в соответствии с (5.30), то видим, что Ji = O. Следовательно, в J-mnMoryT появиться только
з I
выражения до I — 4 порядка по f. Аналогично в Jjq" появятся
і
только выражения до I — 3 порядка и, наконец, в jto — только
і
выражения до I — 2 порядка. Кроме того, поскольку (і = 0, то
3
разложение Jm9, если мы раскладываем в нем только ji, будет иметь вид
J™ = J-«>-\-J™-{- .... (5.35а)
2 4
j-on = j-on4. j-o"-)- .. (5.356)
3 5
j.m,i = j-mn j-mn (5.35в)
4 6
Допустим, что то же самое справедливо в случае произвольного тензора энергии-импульса. Иными словами, мы предполагаем,
что J"1^ зависит от -[ таким образом, что в нем появляются только известные -г. Кроме того, допустим, что J-OO = J-O" = J-mn = 0.
3 4 5
Следовательно, дифференциальное уравнение для Jma можно переписать в виде
Kma-^lab =Qmn, (5.36)
і і 78 гл. ii. метод приближений и уравнения движения
где Qmn — известная функция от известных у. Учитывая свойства
j*-тпа. пЪ
симметрии К , имеем
Kma- пЬ1аЬп^0. (5.37)
і
Поэтому
Qmn |„=0 (5.38)
і
есть необходимое условие для того, чтобы уравнения (5.36) были разрешимы. Обсудим это условие в следующем параграфе. Мы увидим, что оно связано с уравнениями движения. Однако в настоящий момент мы просто примем, что (5.38) выполняется.
Из (5.21) мы знаем общее решение однородного уравнения (5.36). Обозначая через любое частное решение (5.36), получаем
общее решение в виде
піп *тп і ,т і »,л /с ог»\
T = T +b \n + b [т— 8 b Ii. (5.39)
iiit і
Это уравнение можно рассматривать двояко: либо мы считаем, что b — произвольные функции, добавленные к у*тп так, чтобы получить общее решение, либо мы рассматриваем их как преобразование от системы координат со звездочкой к системе координат бгз звездочки. Действительно, сравнение последнего уравнения с (5.16) делает эту точку зрения очевидной.
Поскольку у*тп есть любое частное решение, то удобно предположить, что
Ttmn і» = 0. (5.40)
і
Действительно, если (5.40) не выполняется, можно найти новое решение
**тп *тп і L * гл і ътп /г? д. \
T =T \n-\~b |т — Ь ь (5.41) till
такое, что
j«m]n= 0. (5.42)
Для этого достаточно решить уравнение Пуассона
ь'т, = — т*"1" . (5.43)
J Inn I I п v '
Таким образом, мы всегда можем положить, что (5.40) выполнено. Тогда дифференциальное уравнение (5.36) переходит в уравнение Пуассона
T"", =2Qm", (5.44) § 5. МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИЙ И УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ
79
и мы находим общее решение, добавляя решение однородного
_ ту-та, tib г\
уравнения К Iab= 0.
I
Разделавшись таким образом с утп, вернемся к у00. Соответствующее уравнение для них, согласно (5.18а), есть
K0a'06 =-JV ((S00)-Sitf-30. (5.45)
і і її
где 200 — функция от уже известных Y- Согласно (5.19в), имеем і
„Оа, Ob - LtOO __L таЬ (К 4?\
A. Ub- 2 ] 1« 2 ] 1 ab' (O.tO)
Но Ya6 уже известны из 'предыдущего этапа. Они были найдены і
как общее решение уравнения (5.36)
таь = + balb + Ь\а - ЪаЬЪ$ ]s, (5.47а)
Iiii і
Y^16 = O, fa\ss = 2Qab. (5.476)
Подставляя это в (5.46), имеем
Tfi-=T?''"+?" (5-48)
Если же обозначить через Y*00 решение уравнения
і
Y^ooi SS = 2Q°°, (5.49)
то найдем
Y00=Y*00 + ^u. (5.50) і і і
что в соответствии с (5.16а) снова может быть интерпретировано
