Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Инфельд Л. -> "Движение и релятивизм " -> 29

Движение и релятивизм - Инфельд Л.

Инфельд Л., Плебанский Е. Движение и релятивизм — Москва, 1962. — 202 c.
Скачать (прямая ссылка): dvijenieirelitiv1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 65 >> Следующая


21 1J 211 1 4 ^ 2 2 VIх х l/|m

Если умножить первое из этих уравнений на с3, то оно станет в точности уравнением неразрывности; второе уравнение, будучи умноженным на с4, оказывается в точности ньютоновским уравнением для идеальной жидкости.

Перейдем теперь к случаю точечных частиц. Мы можем сделать это двумя путями: либо подставляя непосредственно в уравнения движения

AAA An

^p = Jp 85VV (1-9)

либо рассматривая предельный случай уравнений (1.8), полагая

а=2^(х-?). (1-Ю) 90 гл. III. НЬЮТОНОВСКОЕ И ПОСТ-НЬЮТОНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

Мы избираем второй путь, хотя он несколько более сложен.

А

В этом случае, интегрируя уравнение (1.8а) по 2, получаем

[a0=o, [a = Const, (1-11)

2 2

так как интеграл от дивергенции может быть преобразован в поверхностный интеграл, подынтегральное выражение которого обращается в нуль на этой поверхности. Аналогичным образом, интегрируя второе уравнение, найдем

aa г г / 1 \ vl а a ^b в

[Ае-|сю=/л/л' «*(*-*>=

AS А В

Ц

NH Ав д 1 YV^s / 1 \

= 2d Ws- |Д-BT = Ii Wl ТЯ-вТ А ¦ (1л2>

ВФА dtm |s — El в VlS — S I ZlSm Это снова ньютоновские уравнения движения точечных частиц под действием ньютоновского гравитационного поля. Здесь штрих у 2 означает, что суммирование следует производить по всем В, не равным А. Этот результат не зависит от того, используем ли мы нашу „хорошую" 8-функцию, так как вклад от члена с B = A всегда равен нулю. В этом легко убедиться, если поменять местами X и х' для A = B в формуле (1.12).

§ 2. Гравитационное поле для пост-ньютоновских уравнений движения

Чтобы найти уравнения движения в следующем, пост-ньютоновском приближении, нужно знать величины

J00, J0". J""", (2.1)

4 5 6

так как в силу принятых нами в гл. IJ уравнений (5.35)

J- 00 = J-O П = tfmn = о (2.2)

3 4 5

Что касается гравитационного поля, то мы должны знать разложение величин

m и J т\

Ipj (р J

вплоть до членов пятого и шестого порядка. Для этого должны быть известны

hmn- Kn' Ко- (2.4)

2 3 4

Вычислим поочередно эти величины. § 2. ГРАБИТ. ПОЛЕ ДЛЯ ПОСТ-НЬЮТОНОВСКИХ УРАВН. ДВИЖЕНИЯ 91

Из формул (5.31) гл. II следует, что

hmn = — T 5mnT00 = SmnAoo = — 2Ьтп С dx'J-'W I x — х' Г(2.5) 2 z 2 2 J 2

Так как

ho п = то п = Лоп> (2.6)

3 3 3

и в силу уравнений (5.14) и (5.28) гл. II мы имеем для величин h°n уравнение

3

ІАовІ« —4-Ао,1« = —^»+І-Лій-

z 3 z З 3 z 2 1 1

Как легко видеть из уравнения (1.1а), условие интегрируемости этого уравнения имеет вид

J-0010+ <7% = 0. (2.8)

2 13

Это ньютоновское уравнение движения с индексом нуль. Предполагая теперь, что

T*0V=0- (2-9)

получаем из (2.7)

о О

Согласно изложенному в гл. II, общее решение имеет вид

J<'0n

Ї«.=4/л,-ПЬіт+?'"- (2Л1)

где а0 — произвольная функция, удовлетворяющая в случае необходимости некоторым условиям непрерывности и обращающаяся в нуль на бесконечности.

Расчет величины Zi00 оказывается более сложным. Эту вели-

4

чину проще ВЫЧИСЛЯТЬ не через f, т. е. не через плотность Otiv тензора Эйнштейна, а с помощью плотности тензора Риччи 9?00. Выпишем еще раз основные уравнения ОТО:

— \ g*m = — 8кJjep. (2.12)

Из них находим

= = (2.13) Следовательно, вместо (2.12) можно написать

дг«р=_ 8«( Jjap- y?*?)- (2Л4) 92 гл. III. НЬЮТОНОВСКОЕ И ПОСТ-НЬЮТОНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

Запишем еще раз явный вид R^:

р! ЧР1 +(pUeI-IpUeI. (2.15)

Ij- I [J-P J ,v I [J.V J |Р I {!.о J ( pv J [ (IV J ( pa j Введем для краткости следующее обозначение:

A00 = Cp= --2 Г йх^/00|х — х'Г1. (2.16)

2а2

Следовательно, принимая во внимание (2.5), мы имеем вплоть до величин второго порядка

!/=^T= 1+-!(A00-A,,) =1-ср. (2.17)

Поскольку

Slw = S^rt"0. (2.18) то для 9?00 четвертого порядка имеем

JROO = -Scptf00 H-^00. (2.19)

4 2 4

Тем самым проблема нахождения SR00 сводится к отысканию вели-

4

чины R00 вплоть до членов четвертого, порядка. Непосредственное вычисление дает

11 3

#00 + ^00 = —Ycp SJ—2 J00I^ + — 2" cpIOO +

+ if^-lW,,, (2.20)

Так как в соответствии с (2.11) и (1.1а)

JaslO*= Scp100+aw (2.21)

то можно записать 9t00 в виде

4

Далее, в правой части (2.14) имеем

St00 = —¦ 8чс (j™ -і- g^f) = - 4ic (J«» + Jm). (2.23)

4 \ 4 z *—---4 4

4

Таким образом, наше дифференциальное уравнение принимает вид (A00 — 2а0\о - і <?)iss = Cploo H-Wtw + 8^ (<Г°° H-J"). (2.24) S 2. ГРАБИТ. ПОЛЕ ДЛЯ ПОСТ-НЬЮТОНОВСКИХ УРАВН. ДВИЖЕНИЯ 93

Поскольку ср имеет вид (2.16), то мы получаем решение последнего уравнения в виде

f dx' i x- x' г1 + Г dx'i x-x'ij1'00,00 +

4 -7 4 4 J 2 2

+ 2 Г u?x' Г x', х"1<7"00<Г"а> + 2во,о, (2.25)

JJ 2 2 4

где

їх, х', х"] --- їх — X' Ilx' — х" I +

I 1 I__1_

' х' — х" I I x" — x I ' I х" — x I I x — х' I

Формула (2.25) выявляет структуру величины и все реля-

4

тивистские поправки в ней. Она состоит из четырех выражений. Первый член представляет собой обычный вклад, который обусловливается распределением .материи в неньютоновском приближении. Второй член имел бы место также в линейной теории. Его появление обусловлено тем, что мы начинаем процедуру приближений с уравнений Лапласа, а не Даламбера. Третий член вызван нелинейностью уравнений поля ОТО. Смысл четвертого члена очевиден.
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 65 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed