Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
21 1J 211 1 4 ^ 2 2 VIх х l/|m
Если умножить первое из этих уравнений на с3, то оно станет в точности уравнением неразрывности; второе уравнение, будучи умноженным на с4, оказывается в точности ньютоновским уравнением для идеальной жидкости.
Перейдем теперь к случаю точечных частиц. Мы можем сделать это двумя путями: либо подставляя непосредственно в уравнения движения
AAA An
^p = Jp 85VV (1-9)
либо рассматривая предельный случай уравнений (1.8), полагая
а=2^(х-?). (1-Ю)90 гл. III. НЬЮТОНОВСКОЕ И ПОСТ-НЬЮТОНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Мы избираем второй путь, хотя он несколько более сложен.
А
В этом случае, интегрируя уравнение (1.8а) по 2, получаем
[a0=o, [a = Const, (1-11)
2 2
так как интеграл от дивергенции может быть преобразован в поверхностный интеграл, подынтегральное выражение которого обращается в нуль на этой поверхности. Аналогичным образом, интегрируя второе уравнение, найдем
aa г г / 1 \ vl а a ^b в
[Ае-|сю=/л/л' «*(*-*>=
AS А В
Ц
NH Ав д 1 YV^s / 1 \
= 2d Ws- |Д-BT = Ii Wl ТЯ-вТ А ¦ (1л2>
ВФА dtm |s — El в VlS — S I ZlSm Это снова ньютоновские уравнения движения точечных частиц под действием ньютоновского гравитационного поля. Здесь штрих у 2 означает, что суммирование следует производить по всем В, не равным А. Этот результат не зависит от того, используем ли мы нашу „хорошую" 8-функцию, так как вклад от члена с B = A всегда равен нулю. В этом легко убедиться, если поменять местами X и х' для A = B в формуле (1.12).
§ 2. Гравитационное поле для пост-ньютоновских уравнений движения
Чтобы найти уравнения движения в следующем, пост-ньютоновском приближении, нужно знать величины
J00, J0". J""", (2.1)
4 5 6
так как в силу принятых нами в гл. IJ уравнений (5.35)
J- 00 = J-O П = tfmn = о (2.2)
3 4 5
Что касается гравитационного поля, то мы должны знать разложение величин
m и J т\
Ipj (р J
вплоть до членов пятого и шестого порядка. Для этого должны быть известны
hmn- Kn' Ко- (2.4)
2 3 4
Вычислим поочередно эти величины.§ 2. ГРАБИТ. ПОЛЕ ДЛЯ ПОСТ-НЬЮТОНОВСКИХ УРАВН. ДВИЖЕНИЯ 91
Из формул (5.31) гл. II следует, что
hmn = — T 5mnT00 = SmnAoo = — 2Ьтп С dx'J-'W I x — х' Г(2.5) 2 z 2 2 J 2
Так как
ho п = то п = Лоп> (2.6)
3 3 3
и в силу уравнений (5.14) и (5.28) гл. II мы имеем для величин h°n уравнение
3
ІАовІ« —4-Ао,1« = —^»+І-Лій-
z 3 z З 3 z 2 1 1
Как легко видеть из уравнения (1.1а), условие интегрируемости этого уравнения имеет вид
J-0010+ <7% = 0. (2.8)
2 13
Это ньютоновское уравнение движения с индексом нуль. Предполагая теперь, что
T*0V=0- (2-9)
получаем из (2.7)
о О
Согласно изложенному в гл. II, общее решение имеет вид
J<'0n
Ї«.=4/л,-ПЬіт+?'"- (2Л1)
где а0 — произвольная функция, удовлетворяющая в случае необходимости некоторым условиям непрерывности и обращающаяся в нуль на бесконечности.
Расчет величины Zi00 оказывается более сложным. Эту вели-
4
чину проще ВЫЧИСЛЯТЬ не через f, т. е. не через плотность Otiv тензора Эйнштейна, а с помощью плотности тензора Риччи 9?00. Выпишем еще раз основные уравнения ОТО:
— \ g*m = — 8кJjep. (2.12)
Из них находим
= = (2.13) Следовательно, вместо (2.12) можно написать
дг«р=_ 8«( Jjap- y?*?)- (2Л4)92 гл. III. НЬЮТОНОВСКОЕ И ПОСТ-НЬЮТОНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Запишем еще раз явный вид R^:
р! ЧР1 +(pUeI-IpUeI. (2.15)
Ij- I [J-P J ,v I [J.V J |Р I {!.о J ( pv J [ (IV J ( pa j Введем для краткости следующее обозначение:
A00 = Cp= --2 Г йх^/00|х — х'Г1. (2.16)
2а2
Следовательно, принимая во внимание (2.5), мы имеем вплоть до величин второго порядка
!/=^T= 1+-!(A00-A,,) =1-ср. (2.17)
Поскольку
Slw = S^rt"0. (2.18) то для 9?00 четвертого порядка имеем
JROO = -Scptf00 H-^00. (2.19)
4 2 4
Тем самым проблема нахождения SR00 сводится к отысканию вели-
4
чины R00 вплоть до членов четвертого, порядка. Непосредственное вычисление дает
11 3
#00 + ^00 = —Ycp SJ—2 J00I^ + — 2" cpIOO +
+ if^-lW,,, (2.20)
Так как в соответствии с (2.11) и (1.1а)
JaslO*= Scp100+aw (2.21)
то можно записать 9t00 в виде
4
Далее, в правой части (2.14) имеем
St00 = —¦ 8чс (j™ -і- g^f) = - 4ic (J«» + Jm). (2.23)
4 \ 4 z *—---4 4
4
Таким образом, наше дифференциальное уравнение принимает вид (A00 — 2а0\о - і <?)iss = Cploo H-Wtw + 8^ (<Г°° H-J"). (2.24)S 2. ГРАБИТ. ПОЛЕ ДЛЯ ПОСТ-НЬЮТОНОВСКИХ УРАВН. ДВИЖЕНИЯ 93
Поскольку ср имеет вид (2.16), то мы получаем решение последнего уравнения в виде
f dx' i x- x' г1 + Г dx'i x-x'ij1'00,00 +
4 -7 4 4 J 2 2
+ 2 Г u?x' Г x', х"1<7"00<Г"а> + 2во,о, (2.25)
JJ 2 2 4
где
їх, х', х"] --- їх — X' Ilx' — х" I +
I 1 I__1_
' х' — х" I I x" — x I ' I х" — x I I x — х' I
Формула (2.25) выявляет структуру величины и все реля-
4
тивистские поправки в ней. Она состоит из четырех выражений. Первый член представляет собой обычный вклад, который обусловливается распределением .материи в неньютоновском приближении. Второй член имел бы место также в линейной теории. Его появление обусловлено тем, что мы начинаем процедуру приближений с уравнений Лапласа, а не Даламбера. Третий член вызван нелинейностью уравнений поля ОТО. Смысл четвертого члена очевиден.