Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Инфельд Л. -> "Движение и релятивизм " -> 23

Движение и релятивизм - Инфельд Л.

Инфельд Л., Плебанский Е. Движение и релятивизм — Москва, 1962. — 202 c.
Скачать (прямая ссылка): dvijenieirelitiv1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 65 >> Следующая


Спрашивается, с каких порядков должны мы начать разложение тензора Jjliv? Ответим на этот вопрос сначала в аспекте син-гулярностей поля. Там мы имеем (см. гл. I, § 4)

N

S1U(х-1)?vvl0, ^010=I.

А

a km,m dx°

u,__—-L-L .-_

r с2 ds.

А

rk

(3.5a)

Допустим, что разложение ? начинается с нулевого порядка

5* = E* 4-Е* 4_ 5* 4_________(3.56)

0 12

А

Функция fx начинается со второго порядка. Это видно из (3.5а). Это также следует из ньютоновских уравнений движения. Там мы имеем (в случае проблемы двух тел)

AA AB A I А В

^ioo = Wt-І5—51 • (З-6)

2 dtk

Поскольку самый низкий порядок в обеих частях уравнения должен быть одинаков, заключаем

^ = ^4-^ + ^4- .... (3.7)

2 3 4

Следовательно,

J-OO = ^004.^00 + J-OO + 2 3 4

г= Г+г+..., (3.8)

3 4

-pmn Jlmn I

4 70 гл. II. МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИИ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Аналогично получаем тот же результат в случае непрерывного распределения и допускаем, что в случае произвольного тензора энергии-импульса мы имеем точно так же, как в (3.8):

J-°°=0(l2), Jj0n=O(Is), Jjnn=O(Ii). (3.9)

Поскольку jjcip является функцией от А* и ^00, последнее уравнение определяет самый низкий порядок А" по X.

§ 4. Метод приближений и система координат

Каково соотношение между преобразованием координат и методом приближений? Точнее, каким условиям должны удовлетворять преобразования координат, чтобы не нарушать свойств метрического поля ни на бесконечности, ни в отношении порядка, с которого начинается его разложение? Запишем преобразование к системе координат со звездочкой

хт = х«-{-а*(хЛ) (4.1)

и потребуем, чтобы это преобразование переходило в тождественное преобразование при г—со, т. е.

lim аа(х, X) == 0. (4.2)

Г-У со

Тогда из формулы

g =g*x*»- X*v , (4.3)

S «? S (IV I a I ? v

пренебрегая произведениями ah и aa, выводим

Аоо=Аш+2а°|0,

= ^ + „-«",«,. (4.4)

, , * п т

h = h — а , _ — а , .

Ttin тп I т I п

Последнее уравнение немедленно дает ответ на наш вопрос. Так как в соответствии с (2.7) разложение величин h начинается соответственно с A00, /z0„, hmn, то легко видеть, что, если

2 2 X

мы хотим, чтобы h* начинались с того же порядка, мы должны иметь

а0 = а°4-а°Н-а0+ ...,

2 3 4 ^4CN

ап = а" + ая + ая-Ь ... . ^ 7

1 2 3 ? 4. МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИЯ И СИСТЕМА КООРДИНАТ

71

Можно легко обобщить этот результат. Возьмем в (4.1)

х*° = а0, х*к = хк-\-ак, (4.6)

г+і і

тогда первые Aci3, на которые повлияет такое преобразование, будут

hmn> hOn- A00- (4-7)

I 1+1 1+2

Действительно, мы имеем

, .* „т п

lImn = fI тп~ f In — f im"

+ (4.8)

Напомним одну из наиболее важных теорем римановой геометрии, которая касается необходимых и достаточных условий для того, чтобы пространство было псевдоевклидовым. Вопрос стоит так: в каком случае преобразование координат может превратить метрическую форму

g^dx^-dxl в ri^dx* dxVt (4.9)

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы это было возможным, является, как известно, следующее условие:

^vpa=O. (4.10)

т. е. исчезновение главного тензора Римана.

Доказательство необходимости тривиально и исчерпывается замечанием, что g^ = rq^ уничтожает главный тензор Римана. Доказательство достаточности гораздо более трудоемко, и в книгах можно найти много различных способов доказательств. По крайней мере один из них базируется на том факте, что (4.10) представляет собой условие интегрируемости, обеспечивающее существование четырех функций преобразования, с помощью которых gaa превращается в т]^.

Подобный вопрос можно задать теперь в связи с нашим методом приближений: каковы необходимые и достаточные условия для существования преобразования а ак, которое обращает

H-I l

десять функций

Kn- hOn' hOO -(4.11-)

1 1+1 1+2

в нуль? 72

гл. II. МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИИ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Введем линеаризованный тензор кривизны

Stxa, v? = Y (Aap і [Av + h^ [ ap — h(l? j m — Aav j (j.p). (4.12)

Тогда необходимым и достаточным условием для того, чтобы преобразование координат уничтожало hmn, A0 , A00, является

I 1+1 1+2

Sma, nb = 0> Sm0tnb==O, Sm0t0b = 0. (4.13)

I H-1 1+2

Доказательство того, что (4.13) необходимо, тривиально. Доказательство того, что это условие достаточно, более сложно, поскольку оно подобно более общему случаю, когда метод приближений не применяется. Здесь мы его опускаем.

Имея А^р, можно определить Aap с помощью уравнения

OO

^ep = Tf3-Mep. Aap=^Atip. (4.14)

і=і і

По величинам Al3 (k ^ I) можно найти последовательно вели-k

чины Aap, так как

SapSpr = S".

Таким образом мы обнаружим, что Alp начинается с

, 00 , .От . итп . ,00 .

А = —A0о, A =A0m, A =—hmn, А = — A00,

2 2 2 ' 2 1 13 3

A00 = (Aoo)2-A00- (4.15)

4 2 4

Написанных выше формул достаточно для всех наших практических вычислений. Исключительно ради полноты мы приводим общую формулу

AaP = 2 (-Dp^Р'\р2^Арзр4 ... Ap . (4.16)

I ft/'™ kpV2p-lV2 р

где суммирование следует распространить на все комбинации положительных целых чисел, удовлетворяющие условию /?! k2 H- . . . ... +kp=l.
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 65 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed