Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
Спрашивается, с каких порядков должны мы начать разложение тензора Jjliv? Ответим на этот вопрос сначала в аспекте син-гулярностей поля. Там мы имеем (см. гл. I, § 4)
N
S1U(х-1)?vvl0, ^010=I.
А
a km,m dx°
u,__—-L-L .-_
r с2 ds.
А
rk
(3.5a)
Допустим, что разложение ? начинается с нулевого порядка
5* = E* 4-Е* 4_ 5* 4_________(3.56)
0 12
А
Функция fx начинается со второго порядка. Это видно из (3.5а). Это также следует из ньютоновских уравнений движения. Там мы имеем (в случае проблемы двух тел)
AA AB A I А В
^ioo = Wt-І5—51 • (З-6)
2 dtk
Поскольку самый низкий порядок в обеих частях уравнения должен быть одинаков, заключаем
^ = ^4-^ + ^4- .... (3.7)
2 3 4
Следовательно,
J-OO = ^004.^00 + J-OO + 2 3 4
г= Г+г+..., (3.8)
3 4
-pmn Jlmn I
470 гл. II. МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИИ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Аналогично получаем тот же результат в случае непрерывного распределения и допускаем, что в случае произвольного тензора энергии-импульса мы имеем точно так же, как в (3.8):
J-°°=0(l2), Jj0n=O(Is), Jjnn=O(Ii). (3.9)
Поскольку jjcip является функцией от А* и ^00, последнее уравнение определяет самый низкий порядок А" по X.
§ 4. Метод приближений и система координат
Каково соотношение между преобразованием координат и методом приближений? Точнее, каким условиям должны удовлетворять преобразования координат, чтобы не нарушать свойств метрического поля ни на бесконечности, ни в отношении порядка, с которого начинается его разложение? Запишем преобразование к системе координат со звездочкой
хт = х«-{-а*(хЛ) (4.1)
и потребуем, чтобы это преобразование переходило в тождественное преобразование при г—со, т. е.
lim аа(х, X) == 0. (4.2)
Г-У со
Тогда из формулы
g =g*x*»- X*v , (4.3)
S «? S (IV I a I ? v
пренебрегая произведениями ah и aa, выводим
Аоо=Аш+2а°|0,
= ^ + „-«",«,. (4.4)
, , * п т
h = h — а , _ — а , .
Ttin тп I т I п
Последнее уравнение немедленно дает ответ на наш вопрос. Так как в соответствии с (2.7) разложение величин h начинается соответственно с A00, /z0„, hmn, то легко видеть, что, если
2 2 X
мы хотим, чтобы h* начинались с того же порядка, мы должны иметь
а0 = а°4-а°Н-а0+ ...,
2 3 4 ^4CN
ап = а" + ая + ая-Ь ... . ^ 7
1 2 3? 4. МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИЯ И СИСТЕМА КООРДИНАТ
71
Можно легко обобщить этот результат. Возьмем в (4.1)
х*° = а0, х*к = хк-\-ак, (4.6)
г+і і
тогда первые Aci3, на которые повлияет такое преобразование, будут
hmn> hOn- A00- (4-7)
I 1+1 1+2
Действительно, мы имеем
, .* „т п
lImn = fI тп~ f In — f im"
+ (4.8)
Напомним одну из наиболее важных теорем римановой геометрии, которая касается необходимых и достаточных условий для того, чтобы пространство было псевдоевклидовым. Вопрос стоит так: в каком случае преобразование координат может превратить метрическую форму
g^dx^-dxl в ri^dx* dxVt (4.9)
Необходимым и достаточным условием для того, чтобы это было возможным, является, как известно, следующее условие:
^vpa=O. (4.10)
т. е. исчезновение главного тензора Римана.
Доказательство необходимости тривиально и исчерпывается замечанием, что g^ = rq^ уничтожает главный тензор Римана. Доказательство достаточности гораздо более трудоемко, и в книгах можно найти много различных способов доказательств. По крайней мере один из них базируется на том факте, что (4.10) представляет собой условие интегрируемости, обеспечивающее существование четырех функций преобразования, с помощью которых gaa превращается в т]^.
Подобный вопрос можно задать теперь в связи с нашим методом приближений: каковы необходимые и достаточные условия для существования преобразования а ак, которое обращает
H-I l
десять функций
Kn- hOn' hOO -(4.11-)
1 1+1 1+2
в нуль?72
гл. II. МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИИ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Введем линеаризованный тензор кривизны
Stxa, v? = Y (Aap і [Av + h^ [ ap — h(l? j m — Aav j (j.p). (4.12)
Тогда необходимым и достаточным условием для того, чтобы преобразование координат уничтожало hmn, A0 , A00, является
I 1+1 1+2
Sma, nb = 0> Sm0tnb==O, Sm0t0b = 0. (4.13)
I H-1 1+2
Доказательство того, что (4.13) необходимо, тривиально. Доказательство того, что это условие достаточно, более сложно, поскольку оно подобно более общему случаю, когда метод приближений не применяется. Здесь мы его опускаем.
Имея А^р, можно определить Aap с помощью уравнения
OO
^ep = Tf3-Mep. Aap=^Atip. (4.14)
і=і і
По величинам Al3 (k ^ I) можно найти последовательно вели-k
чины Aap, так как
SapSpr = S".
Таким образом мы обнаружим, что Alp начинается с
, 00 , .От . итп . ,00 .
А = —A0о, A =A0m, A =—hmn, А = — A00,
2 2 2 ' 2 1 13 3
A00 = (Aoo)2-A00- (4.15)
4 2 4
Написанных выше формул достаточно для всех наших практических вычислений. Исключительно ради полноты мы приводим общую формулу
AaP = 2 (-Dp^Р'\р2^Арзр4 ... Ap . (4.16)
I ft/'™ kpV2p-lV2 р
где суммирование следует распространить на все комбинации положительных целых чисел, удовлетворяющие условию /?! k2 H- . . . ... +kp=l.