Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Инфельд Л. -> "Движение и релятивизм " -> 31

Движение и релятивизм - Инфельд Л.

Инфельд Л., Плебанский Е. Движение и релятивизм — Москва, 1962. — 202 c.
Скачать (прямая ссылка): dvijenieirelitiv1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 65 >> Следующая


з 3

Перейдем теперь от уравнений общего вида к случаям непрерывного и дискретного распределения масс. Начнем со случая непрерывного распределения. Согласно (1.5), тензор энергии-импульса в этом случае имеет вид

г / P

k ^r- /

P-



Запишем это в виде



JL g*?

с2 s

где

¦Vа- -

Ua U0

a? / ив cc?\

J v = GV V -I7I + T j7

dxa

Разлагая (3.13) в степенной ряд

(3.12)

(3.13)

' t 0,2 кр (И0) , TC = -^-.

(3.14)

получаем

a = a —I— <з —j— . . ., (3.15а)

2 4

v = v + v +________(3.156)

і з

¦тс = itis-j— ..., (3.15b)

4 6

jjqo = o—tz, J0n = avn + avn,

4 4 4 5 4 12 3

Jmn = QVmVn+ OVmVn+ OUmVn-IrTZbmn. (3.16)

6 4 11 2 3 1 2 13 6

7 Зак. № 222 98 гл. III. НЬЮТОНОВСКОЕ И ПОСТ-НЬЮТОНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

Согласно (3.4), уравнение движения с индексом нуль дает

(а— Tz— ftfx'jx — XTVCA -Ir V4 4 J 2 2/|0

-I- (avn-\- avn — Г rfx'lx —х'Г1 o'atA —

4 1 2 3 J 2 2 1 /| п

Подставляя теперь выражения (3.16) в (3.11), получим

(со"-+- GVa + 2 Г dx' IX — х' Г1 оо' (t;a — 2v'a) —

Ml 2 3 J 221 1

— 4" г rfx' j x — х' i, , aa'f'6) + + +

1 2 2 1 /|0 N4 1 1 231 213 6

-)-2 frfx/|x-x/r1a/auo(t»a-2u/a)—4" Г«*х'|х—х'|1я , o'ow'V) —

J 2211 1 ' 2211/1 б

- Г fix 1 X-I ) l°'a + a°' - 04 — + J \ I * ' /1 а 2 4 24 24 24

4-a'a(^4-^^-4^V)] 4- f dx' Г dx" [x, x/, x% aaV +

2211 11 II J J '22 2

+ ^-/dx')x-x'|la6,ca'a^V = 0. (3.18) Эти уравнения определяют a и Vs, если тс задано как функ-

4 3

ция a и г». Они могут служить для перехода к более важной проблеме дискретных частиц. Однако и сама по себе проблема непрерывного распределения может представлять некоторый интерес. Вероятно, она применима в теории огромных туманностей, где нельзя считать внутренние скорости малыми по сравнению со скоростью света, или в каких-либо других проблемах космологии.

Перейдем теперь к более важной проблеме—к приложению общих уравнений (3.4) и (3.11) для случая точечных частиц. Здесь мы имеем

J-°° = 2t^(x —?)• (3.19)

л

Разлагая ц. и Sft в степенной ряд, получаем

„АД Л А А А А

^=-2^,/ + 2^. B = S(x-I). (3.20)

4 А 2 1 2 A4

Здесь и в дальнейшем мы будем опускать индекс, стоящий под величиной, если он является наинизшим в разложении данной величины. Так-, под і* следует понимать величину fj. или, допуская § 3. УPABH. ДВИЖЕНИЯ В ПОСТ-НЬЮТОНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 99

погрешность В четвертом порядке, величину [1.-)-11.. Имеем

2 4

Jw = So^-(3.21а)

4 С 4 1 2

„ CCC CCCC CCC

= 2 (ц 8 $",0 — (18 /Snl 0 + Г а е"ю). (3.216)

5 С 4 1 2 3

„ CCC С CCC CCC С CC CC с

Jmn = 2 (Р 8 SmI oS ",o-hpt 8 ,oS"i0+^ 8 -I0 - Jt 8, ^Sm ioS "і о)-

6 С 4 3 3 2

(3.2ІВ)

Подставляя эти выражения в (3.2) и (3.7), мы хотим найти интегралы

fj-\dx и Cj-ma^dx, (3.22)

А 5 X 6

a S

А

где 2—малая область, окружающая А-ю частицу. Следовательно, нам придется иметь дело с интегралами типа

fdxf dx'f (х, х') 8 (х — §) 8 (х' — |). (3.23)

A 2

ГІ

Так как Q обозначает все пространство, то интегрирование дает следующий результат:

в с

/(§. &ЬАВ- (3-24)

Итак, имеется простое общее правило для расчета интегралов типа (2.23). Однако случаю B = C следует уделить особое внимание. А именно, если / — сингулярная функция, например

/=|х — х'Г1, (3.25)

то имеем

II-Ir1=Z-^i=OO для A = B. (3.26)

Но именно в такой ситуации вступают в силу соображения, которыми мы руководствовались при выборе „хорошей" 8-функции.

А В

Наши 8-функции устраняют вклады такого типа. Если же /(§, §) имеет конечное значение при A = B, то ее вклад, разумеется, необходимо учитывать. Это имеет место, в частности, для выражений типа

ABC

V JUUL.. (3.27)

' я d

в с AB AC

7* ioo глі-іїт: ньютоновское и' пост-Ньютоновское приближения

Здесь мы видим, например, что нельзя пренебрегать выражениями с B = C, так что получим ..........abc abc ab

Srii^=S ViiT^¦ <3-28>

вТс АВ АС вГс АВ АС в rab ;

где 2 означает, что суммирование не распространяется на случаи B = C, A = B л A = C.

После этих замечаний расчет не представляет труда. Начнем

А

с вычисления [t из уравнения (3.2). Интегрируя это уравнение

, 4

а'

ПО Q, используя ньютоновские уравнения движения и то обстоя* тельство, что выражения, имеющие вид дивергенции, не дают никакого вклада, получаем

A АВ. л А А А

{X : 4

v-i г . .. і А Л А

2 ^JL+^5VV (3.29)

Это выражение нужно подставить в (3.21). (Произвольную аддитивную постоянную можно считать включенной в (і.) Остается

2

непосредственный расчет, который в конце концов приводит K слег дующему результату:

ГAAa f \ АА А vyts \ Л

Ы 10+( YIj-^ 10+ 3 zi wab HaIO-

3

В '

в

|0

S' ab _хва 1 Bs

^rAB^a}о— Y Zj IiK А в ^s в в АВ\Ьа1*

i /а в ^ art ^ is я

— S Ja Ja Г * ' taAs + ^s(rAs) AeBs1F-

TT 12 15 6 2 I ? ? J

IS

Sr ab, з л aj bs as bs \

P-і* (Y ^ioS |0 + Y IoS-yIO — 4^10^10)\гав)А +

' J--^r/ ABAr B A B _2 .

"Kl +2" 'Zj P-^ioSV'" aba Pt* Oi+ IWAS) Ae + .-
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 65 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed